У математиці тригонометричний ряд — це ряд вигляду:
Його називають рядом Фур'є, якщо доданки і мають вигляд:
де є інтегровною функцією .
Нулі тригонометричного ряду Унікальність і нулі тригонометричних рядів активно досліджували в Європі XIX століття. По-перше, Георг Кантор довів, що якщо тригонометричний ряд збіжний до функції на інтервалі , яка тотожно дорівнює нулю або, загальніше, відмінна від нуля не більше ніж у скінченній кількості точок, то всі коефіцієнти ряду дорівнюють нулю.
Пізніше Кантор довів, що навіть якщо множина S, на якій відмінна від нуля, є нескінченною, але похідна множина S''' від S скінченна, то всі коефіцієнти дорівнюють нулю. Насправді він довів загальніший результат. Нехай S0 = S і Sk+1 — похідна множина від Sk. Якщо існує скінченне число n, для якого Sn скінченна, то всі коефіцієнти дорівнюють нулю. Пізніше Лебег довів, що якщо існує зліченно нескінченний ординал α такий, що Sα скінченна, то всі коефіцієнти ряду дорівнюють нулю. Робота Кантора над проблемою унікальності, як відомо, привела його до винаходу трансфінітних порядкових чисел, які з'явилися як індекси α в S''α.
Див. також Теорема Данжуа — Лузіна
Джерела
Примітки