Гіперболі́чна нерухо́ма то́чка (гіперболі́чна то́чка) — фундаментальне поняття, що використовується в теорії динамічних систем стосовно відображень (дифеоморфізмів) і векторних полів. У разі відображення гіперболічною точкою називають нерухому точку, в якій усі мультиплікатори (власні числа лінеаризації відображення в даній точці) за модулем відмінні від одиниці. У разі векторних полів гіперболічною точкою називають особливу точку, в якій усі власні числа лінеаризації поля мають ненульові дійсні частини.
Стійкий та нестійкий многовиди У гіперболічній точці векторного поля (або дифеоморфізму) дотичний простір розкладається в пряму суму двох інваріантних підпросторів і , інваріантних відносно оператора лінійної частини поля: . Підпростори і визначаються відповідно умовами , у разі векторних полів та умовами , у разі дифеоморфізмів. Ці підпростори є інваріантними многовидами лінеаризованого векторного поля (дифеоморфізму) у цій точці, вони називаються його нестійким та стійким відповідно.
Нестійким та стійким многовидами початкового нелінійного векторного поля (дифеоморфізму) називають його інваріантні многовиди і , що дотикаються відповідно до підпросторів і у точці, що розглядається, і мають ті ж розмірності, що і . Многовиди і визначаються в єдиний спосіб. Зазначимо, що многовиди і існують у випадку гіперболічних особливих точок, проте у разі гіперболічної точки сума їх розмірностей дорівнює розмірності всього простору, й інших інваріантних многовидів, які проходять через цю особливу точку, немає.
Теореми про гіперболічні точки Теорема Гробмана — Гартмана. В околі гіперболічної точки нелінійного дифеоморфізму (векторного поля) динаміка відрізняється від такої для відповідного лінійного відображення (векторного поля) неперервною заміною координат.
Теорема Адамара — ПерронаМарсден Дж., Мак Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980.. В околі гіперболічної точки гладкого (або аналітичного) векторного поля або дифеоморфізму існують нестійкий та стійкий многовиди і такого ж класу гладкості (відповідно, аналітичні), що проходять через цю точку.
Теорема ЧеняChen, Kuo-Tsai. Equivalence and decomposition of vector fields about an elementary critical point. Amer. J. Math. 85 (1963), p. 693—722.. Якщо в околі гіперболічної точки два -гладкі векторні поля (дифеоморфізм) формально еквівалентні (тобто, переводяться один в одного формальною заміною змінних, заданою формальними степеневими рядами), то вони -гладко еквівалентні.
Див. також
Диффеоморфізм Аносова Гіперболічна множина Центральний многовид
Література
В. И. Арнольд, Ю. С. Ильяшенко. Обыкновенные дифференциальные уравнения, Динамические системы — 1, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 1, ВИНИТИ, М., 1985, 7–140
Примітки