Крива зростання — крива, що описує залежність еквівалентної ширини спектральної лінії поглинання від кількості атомів , які поглинають випромінювання в цій лінії. Як правило, про криві зростання говорять у застосуванні до ліній поглинання в спектрах зір. Криві зростання можна розрахувати теоретично для різних умов у атмосфері зорі. За ними можна визначати вміст різних хімічних елементів в атмосфері зорі, а порівнюючи теоретичні криві зростання зі спостережуваними, можна визначати різні параметри атмосфери, від яких залежить вигляд самої кривої зростання, наприклад, температуру або швидкість мікротурбулентних рухів. Залежність еквівалентної ширини лінії поглинання від кількості атомів уперше розрахували 1931 року Міннарт і Слоб.

Криву зростання ділять на три якісно відмінні ділянки. Для малих оптична товщина поглинального шару мала, й еквівалентна ширина зростає прямо пропорційно кількості атомів, , — цю частину кривої зростання називають лінійною. Для досить великого оптична товщина стає більшою від одиниці, глибина лінії в її центрі перестає зростати, відбувається насичення лінії в центрі, і зростання еквівалентної ширини продовжується за рахунок крил лінії. На цій ділянці кривої зростання, що називається пологою, . Для ще більшого починають помітно зростати частини крил, що описуються лоренцівським профілем. Цю частину кривої зростання називають ділянкою згасання випромінювання, на ній .

Історія вивчення Теорію кривої зростання вперше виклали 1931 року Марсел Міннарт і Слоб (C. Slob) у статті «Повні інтенсивності фраунгоферових ліній» (). У ній вони дослідили, як еквівалентна ширина лінії поглинання залежить від кількості атомів, задіяних у її утворенні. 1936 року теорію вдосконалив Дональд Мензел, а 1938 року Альбрехт Унзельд дав повний огляд цієї теми. В наступні роки теорію застосовували на практиці до спектрів Сонця й зір, хоча спочатку і спостерігалися суттєві неузгодженості теорії зі спостережуваними інтенсивностями ліній, пов'язані як з неточностями спостережень, так і зі спрощеннями, зробленими при побудові теорії. У серії статей 1949–1954 років Маршал Генрі Врубель, використовуючи моделі зоряних атмосфер свого вчителя Субраманьяна Чандрасекара, побудував криві зростання для атмосферних моделей Мілна — Еддінгтона і Шустера — Шварцшильда.

Опис Крива зростання — це залежність еквівалентної ширини спектральної лінії поглинання від кількості атомів , що беруть участь у її утворенні.

Як правило, про криві зростання говорять у застосуванні до ліній поглинання в спектрах зір. Випромінювання, що виходить із фотосфери зорі, має неперервний спектр, але після проходження через зовнішні шари зоряної атмосфери поглинається на деяких довжинах хвиль, і в спектрі з'являються лінії поглинання. У кожній такій спектральній лінії випромінювання поглинається певним атомом у певному енергетичному стані, тому чим більше таких атомів на шляху випромінювання, тим сильнішим буде поглинання в спектральній лінії.

Криву зростання можна поділити на три ділянки, у порядку зростання : лінійну, де ; пологу, або перехідну, на якій ; та ділянку згасання випромінювання, де .

Теорія

Еквівалентна ширина

Для опису інтенсивності спектральних ліній поглинання використовують поняття еквівалентної ширини . Це ширина ділянки в одиницях довжини хвилі () або частоти (), на якій неперервний спектр випромінює сумарно стільки ж енергії, скільки поглинається на всій лінії.

Більш строго визначається в такий спосіб. Інтенсивність випромінювання у спектрі на частоті позначається як , а інтенсивність у такому ж спектрі за відсутності аналізованої лінії — . Для знаходження екстраполюють сусідні з лінією ділянки спектра на ділянку, де спостерігається лінія, немов би вона відсутня. Вводять параметр , званий глибиною лінії, що позначає поглинуту частку випромінювання на частоті . Еквівалентна ширина пов'язана з ним співвідношенням . Аналогічні міркування можна повторити, замінивши частоти на довжини хвиль, отримавши . Теоретично, інтегрування треба проводити від до , але на практиці інтегрують на скінченному інтервалі, що охоплює основні частини лінії — як правило, ширина інтервалу становить не більше кількох десятків нанометрів. Глибина лінії пов'язана з оптичною товщиною поглинального шару на частоті формулою . Оптична товщина , своєю чергою, прямо пропорційна  — кількості поглинаючих атомів на одиницю площі на промені зору.

Поведінка для малої оптичної товщини Коли мале, то мала й у всіх частинах лінії. Тоді зростає практично лінійно зі зростанням , і, отже, . Коли оптична товщина стає досить великою, то зростання в центрі лінії сповільнюється, а потім практично зупиняється — лінійне зростання продовжується, поки оптична товщина в центрі лінії набагато менша від одиниці. Для більших збільшення сповільнюється, але не припиняється, оскільки у крилах — бічних частинах лінії — залишається малим. Зв'язок між і для оптично товстих середовищ залежить від виду профілю спектральної лінії.

Поведінка для великої оптичної товщини Як правило, окремі механізми розширення спектральної лінії приводять або до гауссівського розподілу (наприклад, тепловий рух атомів), або до лоренцівського розподілу (наприклад, природна ширина спектральної лінії й розширення тиском). Спільна дія цих механізмів приводить до утворення фойгтівського профілю, який є згорткою гауссівського та лоренцівського. Оскільки в лоренцівському профілі крила зменшуються набагато повільніше, ніж у гауссівському, то у відповідному фойгтівському профілі далекі частини крил близькі до лоренцівського профілю. Вигляд центральної частини лінії залежить від ширин гауссівського та лоренцівського профілів: якщо гауссівський профіль значно ширший, то центральна частина фойгтівського профілю буде близька до гауссівського, і навпаки.

Гауссівський профіль Розподіл оптичної товщини лінії з гауссівським профілем має такий вигляд:

де  — оптична товщина в центрі лінії,  — півширина лінії,  — відстань до центра лінії. Для зручності можна зробити заміну . Тоді  — відстань від центра лінії у величинах доплерівської ширини, що дорівнює . Еквівалентну ширину лінії з такими параметрами можна подати так:

.

Інтеграл у цьому виразі не береться аналітично, але можна приблизно вважати, що для великих , які відповідають насиченим лініям, підінтегральний вираз близький до 0 для великих і до 1 для малих . За межу між «великими» та «малими» можна взяти значення , для якого . Ця умова виконується для , тому з високою точністю виявляється пропорційною , а значить, . Наближене обчислення самого інтеграла приводить до того ж результату. Така поведлінка типова для ліній середньої сили.

Лоренцівський профіль У лінії з лоренцівським профілем розподіл оптичної товщини записують у вигляді:

де  — оптична товщина в центрі лінії,  — півширина лінії,  — відстань до центра лінії. Для зручності роблять заміну , тоді  — відстань від центра лінії в кількостях півширин. Еквівалентна ширина в цьому випадку набуває вигляду:

.

Для досить великих центр лінії виявляється насиченим, а зменшення оптичної товщини в крилах відбувається приблизно як . Тоді ширина приблизно виражається формулою:

.

Якщо зробити заміну , то вираз набуде вигляду

.

Таким чином, для лоренцівського профілю зростає пропорційно , а значить, . Така поведінка спостерігається для сильних ліній.

Фойгтівський профіль Лінії поглинання у спектрах зір, як правило, з високою точністю описуються фойгтівським профілем, у якому лоренцівська ширина дуже мала порівняно з гауссівською. Це означає, що центральні частини ліній близькі до гауссівських, а крила — до лоренцівських.

Таким чином, за досить великих значень оптична товщина в центрі стає більшою від одиниці, але крила лоренцівського профілю ще занадто слабкі, і зростання відбувається в основному за рахунок ділянок, де профіль лінії близький до гауссівського — пропорційно . Для дуже великих далекі частини крил лінії, що описуються лоренцівським профілем, стають досить сильними, і починає зростати приблизно пропорційно . Типове значення оптичної товщини в центрі лінії, для якої відбувається перехід від пологої ділянки кривої зростання до ділянки радіаційного загасання, становить близько 103, хоча воно залежить від відношення лоренцівської та гауссівської ширини: чим більша лоренцівська ширина, тим для менших відбувається перехід.

Використання Криві зростання можна розрахувати теоретично для заданої моделі зоряної атмосфери — у загальному випадку для цього необхідно розв'язати рівняння переносу випромінювання для заданих умов в атмосфері зорі, як-от температури, густини речовини та інших параметрів. Таким чином, порівняння теоретичних кривих зростання зі спостережуваними дозволяє вимірювати параметри зір, від яких залежить крива зростання, наприклад, температуру в атмосфері на висоті утворення спектральної лінії, швидкість мікротурбулентних рухів та вміст відповідних хімічних елементів.

Для окремої зорі криву зростання певної лінії можна побудувати за мультиплетами — наборами спектральних ліній, які відповідають переходам зі спільного нижнього рівня. Число атомів для цієї зорі невідоме, але для всіх цих переходів воно гарантовано однакове. Крім того, зазвичай відомі ймовірності переходів, тому для мультиплету можна вибрати відповідне сімейство кривих зростання й визначити .

Вигляд кривої зростання залежить, наприклад, від температури зорі та від швидкості мікротурбулентних рухів газу в ній. Підвищення температури і збільшення швидкості мікротурбулентності збільшують гауссівську ширину лінії, зменшуючи при цьому оптичну глибину в її центрі — при цьому еквівалентна ширина залишається незмінною, але насичення лінії та припинення лінійного зростання настає для більшого і за більшої еквівалентної ширини. Крім того, мікротурбулентність і температура по-різному впливають на криву зростання: за однакової температури атоми різних мас мають різні середні швидкості, і ширина гауссівських ліній таких атомів відрізняється, тоді як мікротурбулентність спричиняє рух з однаковими швидкостями. Це дає змогу розділяти ефекти температури й мікротурбулентності.

Коментарі

Примітки

Література