У геометрії біцентричний многокутник — це описаний многокутник (многокутник, усі сторони якого дотичні до внутрішнього кола), який також є вписаним у зовнішнє коло, яке проходить через кожну його вершину. Усі трикутники та всі правильні многокутники біцентричні. З іншого боку, прямокутник з нерівними сторонами не є біцентричним, оскільки жодне коло не може дотикатися до всіх його чотирьох сторін.

Трикутники Кожен трикутник біцентричний.. У трикутнику радіуси r і R вписаного та описаного кола відповідно пов'язані рівнянням

де x — відстань між центрами кіл.. Це одна з версій формули трикутника Ейлера.

Біцентричні чотирикутники

Не всі чотирикутники є біцентричними (мають як вписане, так і описане коло). Для даних двох кіл (одне в одному) з радіусами R і r, де , опуклий чотирикутник, вписаний в одне з них і описаний навколо іншого, існує тоді й лише тоді, коли їхні радіуси задовольняють рівність

де x — відстань між їхніми центрами.. Ця умова (і аналогічні умови для многокутників вищого порядку) відома як теорема Фусса..

Многокутники з n > 4 Відома складна загальна формула співвідношення між радіусом описаного кола R, радіусом вписаного кола r і відстанню x між центром описаного кола та центром вписаного кола для будь-якого числа сторін nWeisstein, Eric W. «Poncelet's Porism.» From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PonceletsPorism.html. Для деяких n:

де і

Правильні многокутники Кожен правильний многокутник є біцентричним. У правильному многокутнику вписане й описане кола концентричні, тобто мають спільний центр, який також є центром правильного многокутника, тому відстань між центром вписаного й описаного кола завжди дорівнює нулю. Радіусом вписаного кола є апофема (найкоротша відстань від центра до сторони правильного многокутника).

Для будь-якого правильного многокутника співвідношення між довжиною ребра a, радіусом r вписаного кола та радіусом R описаного кола таке:

Для деяких правильних многокутників, які можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки, маємо такі алгебричні формули для цих співвідношень: 3 4 5 6 8 10 Отже, маємо такі десяткові наближення:

Поризм Понселе

Якщо два кола є вписаним і описаним колами окремого біцентричного n-кутника, то ці ж два кола є вписаним і описаним колами нескінченної кількості біцентричних n-кутників. Точніше, на кожній дотичній до внутрішнього з двох кіл можна побудувати біцентричний n-кутник, розмістивши вершини на прямій у точках, де вона перетинає зовнішнє коло, продовжуючи від кожної вершини вздовж іншої дотичної та повторюючи це до замкнення ламаної в n-кутник. Той факт, що так буде завжди, випливає з теореми про замикання Понселе, яка в загальнішому випадку застосовується до вписаних і описаних конік..

Крім того, якщо задано описане коло та вписане коло, кожна діагональ змінного многокутника є дотичною до фіксованого колаJohnson, Roger A. Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (1929), p. 94..

Примітки

Посилання