Nieskończenie małe (infinitezymalne) – pojęcie analizy matematycznej o co najmniej dwóch znaczeniach: historycznie: funkcje dążące do zera w danym punkcie; w analizie niestandardowej: podzbiór ciała uporządkowanego zdefiniowany jako zbiór tych elementów ciała, które są na moduł mniejsze od dowolnej liczby postaci (gdzie rozumie się jako -krotną sumę jedności ciała ), czyli zbiór:
Ta druga definicja jest poprawna, ponieważ: w każdym ciele uporządkowanym porządek jest liniowy, istnieją liczby „naturalne” (jako skończone sumy multiplikatywnego elementu neutralnego), da się zdefiniować funkcję moduł jako:
gdzie oznacza element przeciwny do względem działania addytywnego.
Ciało liczb rzeczywistych W ciele liczb rzeczywistych jedyną liczbą nieskończenie małą jest liczba czyli
Ciało liczb hiperrzeczywistych
W ciele liczb hiperrzeczywistych zbiór liczb nieskończenie małych to i liczb tych jest nieskończenie wiele.
Do zbioru należy np. liczba .
Struktura jest grupą, a jest pierścieniem oraz grupa liczb nieskończenie małych jest ideałem w pierścieniu liczb ograniczonych.
W zbiorze nie ma liczby ani największej, ani najmniejszej.
Liczby odwrotne względem działania do niezerowej liczby nieskończenie małej są liczbami nieskończenie dużymi.
Zobacz też różniczka
Przypisy Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 32. Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 30. Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 4. Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 8. Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, , s. 182. Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, , s. 258.
Kategoria:Analiza niestandardowa