mały|Wartości drugiej funkcji Czebyszewa dla (niebieska), dla porównania funkcja Funkcje Czebyszewa są dwiema funkcjami wykorzystywanymi w teorii liczb. Swoją nazwę wzięły od nazwiska rosyjskiego matematyka, Pafnutija Czebyszewa.
Pierwsza funkcja Czebyszewa, oznaczana przez lub jest zdefiniowana jako
dla dowolnej liczby rzeczywistej gdzie oznacza sumę po liczbach pierwszych mniejszych lub równych a jest logarytmem naturalnym.
Druga funkcja Czebyszewa, oznaczana przez jest zdefiniowana jako
dla gdzie jest funkcją von Mangoldta.
Funkcje i (zwłaszcza ) są wykorzystywane szczególnie często w analitycznej teorii liczb, ze względu na dobre wzory opisujące ich zachowanie w relacji z funkcją zeta Riemanna.
Relacje między funkcjami i Niech będzie funkcją liczącą liczby pierwsze. Korzystając z sumowania przez części Abela, możemy uzyskać
i równoważnie
Relacja między pierwszą a drugą funkcją Czebyszewa jest opisana przez
przy czym druga równość zachodzi, ponieważ dla zachodzi nierówność a tym samym
Dodatkowo, korzystając z powyższej równości można wykazać dla prawdziwość ograniczenia
Twierdzenie o liczbach pierwszych
W swojej pierwotnej wersji, twierdzenie o liczbach pierwszych mówi, że
Korzystając z funkcji Czebyszewa, możemy równoważnie zapisać treść jako
lub
Wzór Selberga
W 1948 r. Atle Selberg udowodnił zależność
lub równoważnie
lub
Wzór Selberga odegrał kluczową rolę w elementarnych, niezależnych od siebie dowodach twierdzenia o liczbach pierwszych Selberga i Erdösa.
Związek z funkcją zeta Riemanna W 1895 Hans von Mangoldt udowodnił, że
gdzie oznacza sumę po wszystkich zerach funkcji zeta na Funkcja jest zdefiniowana jako
Wiadomo, że szeregiem Taylora równym funkcji jest
dlatego trzeba rozumieć jako sumę po nietrywialnych miejscach zerowych funkcji zeta, a powyższy szereg – jako sumę po miejscach trywialnych
Funkcje Czebyszewa dla ciągów arytmetycznych Na potrzebę zagadnień dot. liczb pierwszych w ciągach arytmetycznych (np. twierdzenia Dirichleta), definiuje się często funkcje pomocnicze. Niech dana będzie liczba całkowita oraz względnie pierwsza z nią liczba całkowita Wówczas oznaczamy
oraz
Przypisy
Linki zewnętrzne Chebyshev function , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].
Kategoria:Teoria liczb