mały|Gerhard Hessenberg(1874–1925)
Twierdzenie Hessenberga – twierdzenie teorii mnogości, które udowodnił Gerhard Hessenberg w 1906 roku. Orzeka ono, że jeśli jest nieskończoną liczbą kardynalną, to zachodzi równość:
Równoważność z aksjomatem wyboru Twierdzenie Hessenberga można również sformułować bez odwoływania się do pojęcia liczb kardynalnych. Przyjmuje ono wtedy treść: Każdy zbiór nieskończony jest równoliczny ze swoim kwadratem kartezjańskim, tj. dla dowolnego nieskończonego zbioru zachodzi równoliczność .
Określone w ten sposób twierdzenie jest równoważne aksjomatowi wyboru.
Z aksjomatu wyboru wynika twierdzenie Hessenberga Dowód: W dowodzie wykorzystamy równoważny aksjomatowi wyboru lemat Kuratowskiego-Zorna.
Weźmy dowolny zbiór nieskończony i rozpatrzmy zbiór Jeśli uporządkujemy relacją inkluzji, to spełnia on założenia lematu Kuratowskiego-Zorna, a zatem istnieje w nim element maksymalny dla pewnego zbioru Jeśli to zachodzi więc dowód jest zakończony. Załóżmy więc dalej dla dowodu nie wprost, że Istnieje wtedy taki zbiór że Istotnie, w przeciwnym razie z prawa dychotomii wynikałoby istnienie injekcji więc biorąc dowolne dwa różne punkty funkcja określona jako dla oraz dla byłaby injekcją, co prowadzi do sprzeczności, ponieważ implikuje nierówność Zachodzi a ponadto skąd wynika czyli istnieje bijekcja Pozostaje tylko zauważyć, że a zatem funkcja jest bijekcją prowadzącą z na co jednak przeczy maksymalności elementu .
Z twierdzenia Hessenberga wynika aksjomat wyboru Dowód: Udowodnimy równoważne aksjomatowi wyboru twierdzenie Zermela, przy czym w dowodzie skupimy się tylko na dobrym uporządkowaniu zbiorów nieskończonych (możliwość wprowadzenia dobrego porządku na zbiorze skończonym wynika wprost z definicji, czyli istnienia bijekcji na ograniczony podzbiór zbioru liczb naturalnych).
Weźmy dowolny zbiór nieskończony i oznaczmy przez jego liczbę Hartogsa. Zbiór jest nieskończony, więc z założenia wynika, że zachodzi a ponadto z faktu, że i z twierdzenia Cantora-Bernsteina wynika równoliczność Istnieje zatem bijekcja Dla każdego istnieje takie, że (wynika to z definicji liczby Hartogsa, w przeciwnym razie bowiem istniałaby injekcja z w ). Niech zatem dla każdego liczba będzie najmniejszą liczbą porządkową o tej własności. Przy takim oznaczeniu funkcja określona jako jest injekcją prowadzącą na pewien podzbiór liczby porządkowej, więc można dobrze uporządkować zbiór za pomocą relacji .
Przypisy
Bibliografia
H