Załóżmy więc dalej dla dowodu nie wprost, że Istnieje wtedy taki zbiór że Istotnie, w przeciwnym razie z prawa dychotomii wynikałoby istnienie injekcji więc biorąc dowolne dwa różne punkty funkcja określona jako dla oraz dla byłaby injekcją, co prowadzi do sprzeczności, ponieważ implikuje nierówność Zachodzi a ponadto skąd wynika czyli istnieje bijekcja Pozostaje tylko zauważyć, że a zatem funkcja jest bijekcją prowadzącą z na co jednak przeczy maksymalności elementu .
Z twierdzenia Hessenberga wynika aksjomat wyboru Dowód: Udowodnimy równoważne aksjomatowi wyboru twierdzenie Zermela, przy czym w dowodzie skupimy się tylko na dobrym uporządkowaniu zbiorów nieskończonych (możliwość wprowadzenia dobrego porządku na zbiorze skończonym wynika wprost z definicji, czyli istnienia bijekcji na ograniczony podzbiór zbioru liczb naturalnych).
Weźmy dowolny zbiór nieskończony i oznaczmy przez jego liczbę Hartogsa. Zbiór jest nieskończony, więc z założenia wynika, że zachodzi a ponadto z faktu, że i z twierdzenia Cantora-Bernsteina wynika równoliczność Istnieje zatem bijekcja Dla