Funkcja wynikowa (ang. lub ) – gradient logarytmu funkcji wiarygodności względem wektora parametrów. Funkcja wynikowa wykorzystywana jest w statystyce matematycznej przede wszystkim jako podstawa estymacji metodą największej wiarygodności i testów statystycznych (tzw. testów wynikowych, opartych na statystyce wynikowej, ang. ). Definicja Funkcja wynikowa to gradient (wektor pochodnych cząstkowych) logarytmu naturalnego funkcji wiarygodności, , względem m-wymiarowego wektora parametrów .

Właściwości

Średnia Chociaż funkcja wynikowa jest funkcją wektora , zależy też od wektora obserwacji dla którego jest wyznaczana; uwzględniając losowy charakter próbkowania, można wyznaczyć jej wartość oczekiwaną. Przy pewnych warunkach regularności funkcji gęstości zmiennych losowych wartość oczekiwana funkcji wynikowej dla prawdziwej wartości parametru , wynosi zero. Można to wykazać, traktując funkcję wiarygodności jak funkcję gęstości prawdopodobieństwa: . Niech oznacza przestrzeń próbek. Wtedy:

Przyjęte warunki regularności pozwalają na zamianę pochodnej i całki (patrz twierdzenie Leibniza (o różniczkowaniu pod znakiem całki), stąd powyższe jest równe:

Oczekiwana wartość wyniku przy prawdziwej wartości parametru wynosi zero, co oznacza, że gdyby ktoś wielokrotnie pobierał próbki z pewnego rozkładu i wielokrotnie obliczał wartość funkcji wynikowej, średnia wartość wyników będzie zbliżać się do zera.

Wariancja Wariancja funkcji wynikowej, , można być wyprowadzona z powyższego wyrażenia dla wartości oczekiwanej.

Stąd wariancja wyniku jest równa ujemnej wartości oczekiwanej macierzy Hessego logarytmu funkcji wiarygodności.

Ten ostatni wynik znany jest pod nazwą informacja Fishera, co często oznacza się .

Przykład

Proces Bernoulliego Załóżmy, że w pierwszych n próbach procesu Bernoulliego, w którym prawdopodobieństwo sukcesu wynosiło θ, sukces wystąpił A razy, zaś pozostałe B prób okazało się porażkami,

Funkcja wiarygodności to:

więc funkcja wynikowa ma postać:

Teraz możemy sprawdzić, czy oczekiwany wynik wynosi zero. Zauważmy, że wartość oczekiwana A to nθ, a wartość oczekiwana B wynosi n (1 − θ ), stąd wartość oczekiwana s wynosi

Możemy również sprawdzić wariancję . Wiemy, że B = n − A, zaś wariancja A wynosi nθ (1 − θ ), stąd wariancja s wynosi

Przypisy

Kategoria:Teoria estymacji