mały|250x250px|Środkowe w trójkącie przecinają się w jednym punkcie.
Twierdzenie o środkowych trójkąta – twierdzenie w geometrii euklidesowej mówiące, że trzy środkowe dowolnego trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który dzieli każdą środkową w stosunku , licząc od wierzchołka.
Treść W dowolnym trójkącie środkowe przecinają się w jednym punkcie , zwanym środkiem ciężkości trójkąta, oraz zachodzi , gdzie są środkami odpowiednich boków.
Dowód Rozważmy trójkąt . Niech będzie środkiem boku , środkiem boku , a środkiem boku .
Niech środkowe i przecinają się w punkcie .
Rozważmy trójkąty oraz .
Ponieważ jest środkiem boku , zachodzi .
Ponadto (jako kąty wierzchołkowe), a także punkt leży na środkowej .
Zatem trójkąty i są podobne, skąd wynika proporcja , czyli .
Analogicznie dla pozostałych środkowych otrzymujemy oraz .
Zatem wszystkie trzy środkowe przecinają się w jednym punkcie , który dzieli każdą z nich w stosunku , q.e.d.
Przypisy
Kategoria:Twierdzenia o trójkącie