mały|Oktant sfery to trójkąt sferyczny o trzech kątach prostych

Trygonometria sferyczna – dział geometrii sferycznej i trygonometrii zajmujący się zależnościami między długościami boków a kątami trójkątów sferycznych, tradycyjnie wyrażanymi za pomocą funkcji trygonometrycznych. Boki takiego trójkąta nie są odcinkami, lecz łukami kół wielkich – okręgów wyznaczonych przez przecięcie sfery płaszczyzną przechodzącą przez jej środek. To one pełnią na sferze rolę, jaką na płaszczyźnie pełnią proste: łuk koła wielkiego jest najkrótszą drogą między dwoma punktami, czyli linią geodezyjną. Suma kątów takiego trójkąta jest zawsze większa od radianów, a jej nadwyżka – nadmiar sferyczny – jest wprost proporcjonalna do pola trójkąta. Głównym zadaniem tej dziedziny jest rozwiązywanie trójkątów, czyli wyznaczanie brakujących boków i kątów z danych. Trygonometria sferyczna ma duże znaczenie dla obliczeń w astronomii, geodezji i nawigacji.

Pierwsze twierdzenie tej dziedziny – i zarazem jedyne u autorów greckich – sformułował astronom Menelaos z Aleksandrii. Samodzielnym działem matematyki uczynili ją uczeni : to oni odkryli sferyczne twierdzenie sinusów i jako pierwsi zebrali jej twierdzenia w jeden wykład, niezależny od zastosowań astronomicznych. W Europie od XV wieku starano się uporządkować jej rozproszone twierdzenia i sprowadzić rozwiązywanie trójkątów do niewielu wzorów. Postać, w jakiej wykłada się ją dzisiaj, ukształtowali między innymi Napier, Euler i Delambre. Do Chin dziedzina ta dotarła w XVII wieku wraz z jezuitami, choć tamtejsi astronomowie posługiwali się rachunkiem na łukach kół już wcześniej. W XX wieku Tadeusz Banachiewicz rozszerzył jej wzory na wielokąty sferyczne. Z czasem ustąpiła miejsca ogólniejszym geometriom, ale jej wzory wciąż znajdują zastosowanie – między innymi w nawigacji satelitarnej, i .

Zarys historyczny

Starożytna Grecja Geometrię powierzchni sfery jako pierwsi badali Grecy, którzy nazywali tę dziedzinę sferyką (, ta sphairika). Podstawowe własności sfery znano już wtedy, o czym świadczą zachowane traktaty Autolykosa z Pitane, żyjącego prawdopodobnie w IV wieku p.n.e. Wiedziano między innymi, że każde z dwóch kół wielkich dzieli drugie na połowy i że każde koło wielkie ma parę biegunów.

Pierwszym znanym autorem, który oparł badanie geometrii sfery na trójkątach sferycznych, był Menelaos z Aleksandrii, prowadzący obserwacje astronomiczne w Rzymie kilkadziesiąt lat przed Ptolemeuszem. W jego dziele Sferyka trójkąt sferyczny zdefiniowano jako obszar ograniczony łukami trzech kół wielkich, z których każdy jest krótszy od półokręgu. Księga I zawiera kryteria przystawania trójkątów sferycznych. Jedno z nich nie ma odpowiednika w geometrii euklidesowej: dwa trójkąty sferyczne o równych kątach są przystające. W księdze III znajduje się twierdzenie, które jest zarazem pierwszym twierdzeniem trygonometrii sferycznej i jedynym, jakie ta nauka miała u autorów greckich. Znane jest ono jako sferyczne twierdzenie Menelaosa i orzeka o zależnościach między cięciwami łuków w konfiguracji czterech przecinających się kół wielkich. Ptolemeusz podał jeszcze jeden jego przypadek, a matematycy średniowiecznego islamu wyróżnili łącznie 72 przypadki tego, co nazywali „figurą zupełnego czworoboku”. Niektórzy historycy matematyki wątpią jednak, czy twierdzenie to rzeczywiście pochodzi od Menelaosa. Grecki tekst Sferyki nie przetrwał. Zachowały się z niego tylko fragmenty przytaczane w późniejszych pismach i scholiach, a nic nie wskazuje, by w starożytności studiowano to dzieło w całości. Znane jest ono z trzech kompletnych wczesnych wersji arabskich oraz z przekładów łacińskiego, sporządzonego przez Gerarda z Cremony, i hebrajskiego.

Posługiwanie się tą figurą wymagało jednak pomysłowości: aby zastosować twierdzenie, trzeba było najpierw uzupełnić dane łuki do odpowiedniej konfiguracji, podczas gdy sam trójkąt można było wskazać znacznie łatwiej.

Świat islamu Uczeni świata islamu zastąpili niewygodną figurę czworoboku narzędziami prostszymi, opartymi wprost na trójkącie. Abu al-Wafa zawarł w swoich tablicach astronomicznych Zidż al-Madżisti regułę zwaną później na łacińskim Zachodzie regułą czterech wielkości. Tablice takiego typu, zwane , były arabskimi podręcznikami astronomii praktycznej. Reguła orzeka: jeżeli dwa trójkąty sferyczne mają kąty proste przy odpowiednich wierzchołkach i wspólny kąt ostry, to sinusy odpowiednich boków pozostają w tej samej proporcji.

Z reguły tej Abu al-Wafa wyprowadził sferyczne twierdzenie sinusów. Jego odkrycie uprościło wiele zagadnień dotyczących łuków na sferze i oznaczało pełne wyodrębnienie się trygonometrii sferycznej, ponieważ było to pierwsze twierdzenie posługujące się kątami sferycznymi – wcześniejsze dotyczyły wyłącznie boków. Kilku autorów przypisywało sobie to odkrycie. Wydaje się jednak, że jako pierwszy opublikował je i zastosował Abu al-Wafa, więc zapewne to jemu należy się większa część zasługi. Dopełnieniem tego procesu był Traktat o czworoboku Nasira ad-Dina at-Tusiego, zawierający pierwszy zachowany wykład całego systemu trygonometrii płaskiej i sferycznej, a zarazem pierwsze dzieło, które traktuje trygonometrię jako samodzielny dział matematyki czystej i omawia wszystkie sześć przypadków trójkąta prostokątnego sferycznego.

Rozwój ten napędzały dwa zadania praktyczne. Pierwszym było wyznaczanie czasu (, ilm al-mikat). W związku z tym zadaniem przy wielkich meczetach wykształciła się grupa astronomów, których obowiązkiem było wskazywanie muezzinowi pory wezwania na modlitwę. Pierwszy obszerny zbiór tablic tego rodzaju, obliczony dla szerokości geograficznej Kairu, sporządził . Drugim było wyznaczanie kibli – kierunku na Mekkę, w której znajduje się Al-Kaba. Zagadnienie to sprowadza się do znalezienia kąta w trójkącie sferycznym o wierzchołkach na biegunie północnym, w danej miejscowości i w Mekce, w którym dane są dwa boki (dopełnienia obu szerokości geograficznych) oraz kąt między nimi (różnica długości geograficznych). Al-Biruni poświęcił temu zagadnieniu końcową część swojego dzieła o geografii matematycznej (geografii opartej na pomiarze współrzędnych) i podał cztery metody rozwiązania, zaznaczając przy tym, że jego techniki przydadzą się także wyznawcom innych religii.

Z tego okresu pochodzi także trójkąt biegunowy. Najstarszy znany jego opis znajduje się w liście, w którym prostował tablice astronomiczne Abu Dżafara al-Chazina: posłużył się nim, by wykazać, że ze znajomości kątów trójkąta sferycznego wynika znajomość jego boków. At-Tusi wykorzystał tę konstrukcję w piątej księdze Traktatu o czworoboku, właśnie w przypadku, gdy dane są trzy kąty, a szukane boki.

Europa nowożytna Prace nad uporządkowaniem trygonometrii płaskiej i sferycznej podjął w XV wieku Regiomontanus, a kontynuowali je w XVI wieku między innymi Jerzy Joachim Retyk i Bartłomiej Pitiscus, w XVII zaś John Napier, i François Viète. Regiomontanus nie był pierwszym europejskim autorem, który traktował trygonometrię jako samodzielną dyscyplinę, ale jego De triangulis omnimodis było pierwszym opublikowanym pełnym i systematycznym wykładem tej dziedziny. Dzieło powstało w latach 1462–1464 we Włoszech, a drukiem ukazało się w Norymberdze dopiero w 1533 roku. Trygonometrii sferycznej poświęcone są jego księgi III–V.

Napier ogłosił w 1614 roku regułę części kołowych, ujmującą w jednym schemacie wszystkie dziesięć zależności między dowolnymi trzema z pięciu elementów trójkąta prostokątnego sferycznego. Od połowy XIX do połowy XX wieku przeważał pogląd, że reguły te są tylko zręcznym chwytem mnemotechnicznym bez znaczenia matematycznego. Stanowisko przeciwne głosiło, że są to pełnoprawne twierdzenia. Do zwolenników drugiego poglądu należał Augustus De Morgan, który dowodził przy tym, że pierwszeństwo należy się Torporleyowi, który ogłosił swoją wersję dwanaście lat przed Napierem. Napier zilustrował swoje reguły figurą zwaną pentagramma mirificum – łańcuchem pięciu trójkątów prostokątnych domykającym się wokół pięciokąta samobiegunowego o stałej szerokości /2. Jej matematyczny sens wyjaśnił dopiero Johann Heinrich Lambert, podając dowód reguł Napiera w języku cyklicznych przekształceń danego trójkąta.

Wiek XVIII i XIX mały|Rysunek z podręcznika trygonometrii płaskiej i sferycznej autorstwa Williama Hawneya, wydanego w Londynie w 1750 Leonhard Euler wyprowadził wzory trygonometrii sferycznej „metodą największych i najmniejszych”. Tak nazywał on początkowo dziedzinę, którą sam zapoczątkował i rozwinął wraz z Lagrange’em, a którą dziś nazywa się rachunkiem wariacyjnym. Skoro łuki kół wielkich są najkrótszymi drogami między punktami sfery, boki trójkąta sferycznego można wyznaczyć jako drogi najkrótsze, czyli rozwiązania zadania na minimum. Przy tej okazji podał dowód twierdzenia, że pole trójkąta sferycznego równa się jego nadmiarowi sferycznemu, czyli nadwyżce sumy kątów ponad . W osobnej rozprawie wyprowadził sferyczne odpowiedniki wzoru Herona, wyrażające pole trójkąta przez same jego boki, i użył ich do obliczenia kątów bryłowych pięciu wielościanów foremnych.

Cztery wzory wiążące połowy boków i połowy kątów nazywa się dziś analogiami Delambre’a albo wzorami Gaussa. Jako pierwszy ogłosił je Delambre w „Connaissance des Temps” na rok 1809, wydanej w kwietniu 1807 roku. Wraz z dowodem opublikował je Carl Mollweide w listopadzie 1808 roku, a Carl Friedrich Gauss – bez dowodu – w z 1809 roku. Przypisanie ich Gaussowi utrwaliło się mimo to na długo, czemu sprzyjał błąd w odsyłaczu samego Delambre’a, powtarzany bezkrytycznie przez kolejnych autorów.

Wzory trygonometrii sferycznej okazały się przy tym punktem wyjścia dla trygonometrii geometrii hiperbolicznej. Lambert, badając hipotezę kąta ostrego, przypuszczał, że zachodzi ona „na sferze urojonej”; podstawienie promienia urojonego rzeczywiście zamienia sferyczny wzór na pole trójkąta w hiperboliczny. wyprowadził tą drogą podstawowe wzory trygonometrii hiperbolicznej i nazwał otrzymaną geometrię logarytmiczno-sferyczną, a Łobaczewski wskazał przejście polegające na zastąpieniu boków , , wielkościami urojonymi. Samo przejście od wzorów sferycznych do hiperbolicznych sprowadza się do zastąpienia części funkcji trygonometrycznych funkcjami hiperbolicznymi, którymi Lambert posługiwał się jako jeden z pierwszych systematycznie.

Recepcja w Chinach Zanim jezuici przywieźli trygonometrię sferyczną, chińscy astronomowie posługiwali się własnymi metodami rachunku na łukach. Shen Kuo (1031?–1095) podał zależność między łukiem, cięciwą i strzałką łuku. Wang Xun (1235–1281) i Guo Shoujing (1231–1316) zastosowali ją w kalendarzu Shoushi li z 1281 roku do przeliczania położenia Słońca ze współrzędnych ekliptycznych na równikowe. Zamiast całej cięciwy posługiwali się przy tym jej połową, czyli sinusem połowy łuku. Ich metody dawały więc zależności między długością łuku a sinusem i cosinusem jego połowy, przez co niemal zasługują na miano trygonometrycznych w ścisłym znaczeniu tego słowa. Czy była to już trygonometria sferyczna, pozostaje sporne: w zachowanych zapisach nie ma śladu trójkątów sferycznych, a wyprowadzenia mógł zawierać zaginiony Shoushi licao.

Trygonometrię sferyczną wprowadzili do Chin w XVII wieku jezuici, w ramach reformy kalendarza. Jej pierwsze chińskie wykłady, opracowane na podstawie źródeł europejskich, weszły w skład kompendium . Chińscy uczeni sprowadzali zadania sferyczne do zadań trygonometrii płaskiej i rozwiązywali je przez proporcjonalność odpowiednich boków podobnych trójkątów prostokątnych, a wybór geometrycznego „ośrodka przekształcenia”, przez który dokonywano tego sprowadzenia, zależał od ich stanowiska w sporze o wartość nauki zachodniej. Zależność tę widać w traktatach (1633–1721) i Dai Zhena (1724–1777).

Krakowiany Banachiewicza