W matematycznej teorii liczb, współczynnik Fermata dla danej liczby całkowitej , względem nieparzystej liczby pierwszej , jest definiowany na jeden z dwóch (nierównoważnych! – zob. równoważność) sposobów:
bądź jako:
.
Niniejszy artykuł dotyczy współczynnika Fermata rozumianego na sposób pierwszego z powyższych określeń; aby dowiedzieć się więcej o współczynniku Fermata ozn. , zobacz artykuł: p-derywacja (ang. p-derivation). Nazwa – niniejszym omawianego – współczynnika, pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka Pierre'a de Fermata (1601–1665).
Jeżeli podstawa jest względnie pierwsza z wykładnikiem , to małe twierdzenie Fermata orzeka właściwie, że będzie liczbą całkowitą. Jeżeli baza jest jednocześnie generatorem dla grupy multiplikatywnej reszt modulo , wówczas będzie liczbą kolistą; zaś samo będzie tak zwaną liczbą pierwszą pełnookresową (ang. full reptend prime).
Własności Wprost z definicji, wynikają następujące:
W roku 1850, niemiecki matematyk Gotthold Eisenstein udowodnił, że jeśli każda z liczb oraz jest względnie pierwsza z liczbą , to wtedy zachodzą następujące własności:
Eisenstein w swojej pracy porównał pierwsze dwie z przedstawionych powyżej kongruencji, do odpowiednich właściwości logarytmu. Wychodząc z wymienionych właściwości, da się także pokazać, że:
W roku 1895, rosyjski matematyk Dmitrij Mirimanow zauważył, że odpowiednio iterowane właściwości dowiedzione przez Eisensteina, dają następujący wniosekDmitry Mirimanoff, "Sur la congruence (rp − 1 − 1):p = qr (mod p)," Journal für die reine und angewandte Mathematik 115 (1895): s. 295–300:
.
Ponadto, z wniosku tego wynika, żePaul Bachmann, Niedere Zahlentheorie, 2 vols. (Leipzig, 1902), 1:159.:
.
Przypisy
Kategoria:Teoria liczb