Twierdzenie odwrotne – twierdzenie utworzone z innego twierdzenia przez zamianę założenia z tezą Twierdzenia i ich rodzaje, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2024-02-23]. Twierdzenia i formy zdaniowe, serwis „Matematyka z ZUT-em”, Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie, matematyka.zut.edu.pl [dostęp 2025-09-25].. Twierdzenie odwrotne da się zbudować z każdej implikacji, czyli zdania postaci „jeśli A, to B” lub analogicznego; symbolicznie: Wtedy twierdzeniem odwrotnym jest „jeśli B, to A”: np.: twierdzenie odwrotne do „Każdy poseł jest pełnoletni” to „Każdy pełnoletni jest posłem”; implikacja odwrotna do „Myślę, więc jestem” to „Jestem, więc myślę”.
Wyjściowe twierdzenie, z którego zbudowano twierdzenie odwrotne, bywa nazywane twierdzeniem prostym Janina Płaskonka i Karol Selwat, Repetytorium z matematyki dla studentów pierwszego roku (PDF), Rozdział 1. Elementy logiki matematycznej, s. 12, Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa im. Witelona w Legnicy (PWSZ), Dolnośląska Biblioteka Cyfrowa (DBC), dbc.wroc.pl [dostęp 2025-08-07].. Kiedy omawia się twierdzenie i jego odwrotność, nazwa „twierdzenie proste” pozwala uniknąć powtórzeń i skrócić wypowiedź – przykładowo w kontekście twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa samo twierdzenie Pitagorasa bywa nazywane krócej twierdzeniem prostym Małgorzata Mikołajczyk, Twierdzenie Pitagorasa [w:] Leksykon matematyczny, Wrocławski Portal Matematyczny, matematyka.wroc.pl, 4 grudnia 2009 [dostęp 2025-08-07]. Dwusieczna kąta [w:] Leksykon matematyczny, Wrocławski Portal Matematyczny, matematyka.wroc.pl, 17 września 2018 [dostęp 2025-08-07].. Twierdzenie proste jest odwrotne do swojego twierdzenia odwrotnego, dlatego twierdzenie odwrotne to relacja wzajemna między implikacjami Converse theorem , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-08-07]..
Ten artykuł dotyczy głównie twierdzeń odwrotnych w matematyce. Twierdzenie odwrotne do prawdziwego może być prawdziwe lub nie, co pokazano na przykładach z różnych działów jak arytmetyka, geometria, algebra i analiza.
Przykłady mały|Równość wszystkich czterech kątów to gwarancja (warunek wystarczający) równości przekątnych: mały|Twierdzenie odwrotne do powyższego jest fałszywe. Równość przekątnych nie gwarantuje równości wszystkich czterech kątów: To znaczy, że istnieje kontrprzykład, np. trapez równoramienny z obrazka mały|Prostopadłość przekątnych nie gwarantuje równości wszystkich boków, co pokazują ten obrazek deltoidu i obrazek trapezu wyżej
Matematyka elementarna – arytmetyka i algebra Poprawne twierdzenia, których twierdzenia odwrotne też są prawdziwe: jeśli iloczyn dwóch liczb rzeczywistych wynosi zero, to co najmniej jedna z tych liczb też wynosi zero Jolanta Schilling, Rozwiązywanie równań zapisanych w postaci iloczynu równań liniowych, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej (ZPE MEN), zpe.gov.pl [dostęp 2025-08-10].:
Poprawne twierdzenia, których odwrotności są fałszywe: jeśli dwie liczby są parzyste, to ich suma też jest parzysta to symbol liczb całkowitych, a w tym uzasadnieniu użyto prawa rozdzielności mnożenia.:
Kontrprzykłady do twierdzenia odwrotnego to pary liczb nieparzystych – one też mają parzyste sumy:
jeśli liczba jest podzielna przez dziesięć, to jest podzielna przez pięć Twierdzenia i ich rodzaje, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej (ZPE MEN), zpe.gov.pl [dostęp 2025-08-07].:
Kontrprzykłady do twierdzenia odwrotnego: 5, 15, 25, ... Te liczby są podzielne przez pięć, ale nie przez dziesięć. jeśli wszystkie wszystkie współczynniki równania kwadratowego są nieujemne lub niedodatnie to równanie nie ma rozwiązań dodatnich . Przykład innego równania kwadratowego, które też nie ma rozwiązań dodatnich:
Matematyka elementarna – geometria Poprawne twierdzenia, których twierdzenia odwrotne też są prawdziwe: twierdzenie Pitagorasa w geometrii płaskiej (planimetrii): jeśli trójkąt jest prostokątny, to długości jego boków spełniają równanie Pitagorasa Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej (ZPE MEN) [dostęp 2025-08-07]. Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej (ZPE MEN) [dostęp 2025-08-07].; twierdzenie Talesa w tym samym dziale matematyki; twierdzenie Cevy tamże, czasem definiowane jako równoważność, a nie jako implikacja; twierdzenie Menelaosa – też czasem definiowane jako równoważość; twierdzenie o linii środkowej w dowolnym trójkącie: jeśli odcinek łączy środki boków, to jest równoległy do podstawy trójkąta i równy jej połowie Bogdan Staruch, Twierdzenie o linii środkowej w trójkącie, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej, zpe.gov.pl [dostęp 2024-10-30]; jeśli czworokąt ma dwie pary równoległych boków, to jego przekątne dzielą się na połowy Dowodzenie z wykorzystaniem cech przystawania trójkątów - przykłady, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej, zpe.gov.pl [dostęp 2025-08-07].; twierdzenie Ptolemeusza Jacek Człapiński, Okrąg opisany na czworokącie, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej, zpe.gov.pl [dostęp 2025-08-07].; jeśli ostrosłup jest prosty, to jego krawędzie boczne są równej długości Sebastian Guz, Czworościan, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej, zpe.gov.pl [dostęp 2025-08-07].; jeśli ostrosłup jest prosty, to jego krawędzie boczne są pod jednakowym kątem do podstawy.
Twierdzenia, których odwrotności są fałszywe: jeśli czworokąt ma wszystkie kąty równetakie czworokąty są znane jako prostokąty, to jego przekątne są równe. Na obrazku pokazano trapez równoramienny przeczący twierdzeniu odwrotnemu; jeśli czworokąt ma wszystkie boki równe, to jego przekątne są prostopadłe. Implikacji odwrotnej przeczy dowolny deltoid z parą różnych boków; jeśli czworokąt ma wszystkie boki równe, to tworzą one dwie pary równoległekrótko: każdy romb należy do równoległoboków. Dowolny równoległobok o różnych bokach dowodzi fałszu twierdzenia odwrotnego.
Matematyka wyższa Poprawne twierdzenia z prawdziwym twierdzeniem odwrotnym: twierdzenie Gaussa-Lucasa w analizie zespolonej Joanna Turaj, Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Gaussa-Lucasa, Repozytorium Uniwersytetu Jagiellońskiego, ruj.uj.edu.pl [dostęp 2025-08-07]..
Prawdziwe twierdzenia, których twierdzenia odwrotne są fałszywe: jeśli działanie dwuargumentowe jest łączne, to każdy element ma względem tego działania co najwyżej jeden element odwrotny. Dla twierdzenia odwrotnego kontrprzykładem są oktoniony – w zbiorze tych niezerowych jest jednoznaczne dzielenie, ale mnożenie nie jest łączne Cayley numbers , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-08-08].; jeśli nieskończony ciąg niezerowych liczb rzeczywistych ma granicę niewłaściwą to ciąg wyrazów odwrotnych dąży do zera Jacek Dymel, Obliczanie granic ciągów będących wynikiem działań na ciągach rozbieżnych, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej (ZPE MEN), zpe.gov.pl [dostęp 2025-08-07].:
warunek konieczny zbieżności szeregu liczb rzeczywistych: jeśli szereg jest zbieżny, to jego wyrazy (składniki) dążą do zera Jacek Dymel, Szeregi zbieżne i ich sumy, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej (ZPE MEN), zpe.gov.pl [dostęp 2025-08-07]..
twierdzenie Darboux: każda funkcja ciągła ma własność Darboux. Funkcje o tej własności mogą być nieciągłe Darboux property , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-11-22].; jeśli funkcja rzeczywista ma w jakimś punkcie pochodną – czyli jest w nim różniczkowalna – to jest w tym punkcie ciągła; twierdzenie Fermata o zerowaniu się pochodnej – jest to warunek konieczny na to, żeby punkt różniczkowalności był ekstremum funkcji, ale nie jest to warunek wystarczający (gwarancja) Agnieszka Niemczynowicz, Warunek konieczny istnienia ekstremum, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej (ZPE MEN), zpe.gov.pl [dostęp 2025-08-07]..
Zobacz też twierdzenie przeciwstawne
Uwagi
Przypisy
Bibliografia
Literatura dodatkowa Encyklopedia szkolna – Matematyka, WSiP, Warszawa 1990, .
Kategoria:Logika
Kategoria:Dwuczłonowe relacje matematyczne