Prawo zero-jedynkowe Kołmogorowa – twierdzenie rachunku prawdopodobieństwa mówiące, że wszystkie zdarzenia w -ciele ogonowym rodziny niezależnych -ciał są pewne lub niemożliwe.
Sformułowanie Niech będzie ciągiem zmiennych niezależnych. Niech oznacza -ciało generowane przez zmienną Niech będzie -ciałem generowanym przez zmienne
nazywamy -ciałem ogonowym i dla każdego zdarzenia jest albo
Intuicyjnie prawo 0-1 oznacza, że zdarzenia zależące w każdym momencie tylko od przyszłości nie podlegają losowości, gdyż żadna informacja związana z dowolnym elementem ciągu nie jest istotna nieskończenie długo.
Dowód -ciało ogonowe jest -ciałem jako przecięcie -ciał. -ciała i są dla dowolnego n niezależne, co wynika z niezależności więc jest niezależne od dla każdego n. Z lematu o π- i λ-układach zastosowanego do λ-układu zdarzeń, których dowolny skończony podzbiór spełnia warunek niezależności od A wynika, że A jest niezależne od Ponieważ zachodzi:
zatem lub bo tylko te liczby spełniają
Przykłady zdarzeń z -ciała ogonowego wystąpi nieskończenie wiele zdarzeń ze zdarzeń niezależnych (Lematy Borela-Cantellego) szereg jest zbieżny ciąg jest ograniczony ciąg jest zbieżny (mocne Prawo wielkich liczb)
Bibliografia
Kategoria:Twierdzenia probabilistyki