thumb|300px|Dywan Sierpińskiego po 6 krokach
Dywan Sierpińskiego – fraktal otrzymany z kwadratu za pomocą podzielenia go na dziewięć (3×3) mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego kwadratu i ponownego rekurencyjnego zastosowania tej samej procedury do każdego z pozostałych ośmiu kwadratów. Nazwa pochodzi od nazwiska Wacława Sierpińskiego, choć autorem konstrukcji jest Stefan Mazurkiewicz.
Definicja formalna Niech będzie kwadratem jednostkowym na płaszczyźnie kartezjańskiej czyli Dla danego mając zbiór będący sumą kwadratów o bokach długości i rozłącznych wnętrzach, definiujemy zbiór będący sumą kwadratów o bokach długości i rozłącznych wnętrzach następująco: każdy z kwadratów, których sumą jest zbiór dzielimy na 9 kwadratów o bokach długości i rozłącznych wnętrzach i usuwamy ze zbioru wnętrza środkowych kwadratów. Dywan Sierpińskiego D jest częścią wspólną ciągu zbiorów
Alternatywna definicja Dywan Sierpińskiego jest domknięciem zbioru punktów takich że w rozwinięciu liczb i w trójkowym systemie liczbowym nigdzie nie występuje cyfra 1 na tym samym miejscu po przecinku.
Topologicznym dywanem Sierpińskiego nazywamy każdą przestrzeń topologiczną homeomorficzną z powyżej zdefiniowanym dywanem Sierpińskiego.
Własności dywanu Sierpińskiego Wymiar fraktalny dywanu Sierpińskiego wynosi Pole powierzchni dywanu Sierpińskiego jest zerowe. Dowód: W kolejnych krokach konstrukcji fraktala usuwamy z każdego z kwadratów składowych środkowy kwadrat o polu 9 razy od niego mniejszym, pozostaje zaś z niego 8 kwadratów o łącznym polu równym jego pola. Niech oznacza pole zbioru Mamy zatem:
skąd:
Zatem dla dostatecznie dużych jest dowolnie małe, co oznacza, że dywan Sierpińskiego zawarty jest w figurach o dowolnie małych polach powierzchni, musi zatem mieć zerowe pole powierzchni. Dywan Sierpińskiego jest przestrzenią uniwersalną dla krzywych płaskich, tzn. każde jednowymiarowe continuum na płaszczyźnie jest homeomorficzne z podzbiorem dywanu Sierpińskiego.
Zobacz też
fraktal kostka Mengera krzywa trójkąt Sierpińskiego zbiór Cantora
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne [dostęp 2025-10-31].
Kategoria:Geometria fraktalna Kategoria:Przykłady przestrzeni topologicznych Kategoria:Polskie odkrycia matematyczne Kategoria:Figury płaskie z osią symetrii