Iloczyny tensorowe C*-algebr – dla pary C*-algebr i C*-algebry będące uzupełnieniami C*-norm na (algebraicznym) iloczynie tensorowym uzależnionych od norm w i W ogólności, może istnieć wiele nieizomorficznych iloczynów tensorowych danej pary C*-algebr. Każda C*-norma na jest normą krzyżowąB.J. Vowden, C*-Norms and tensor products of C*-algebras, „J. London Math. Soc.” (2), 7(1974), s. 595–596., tj. spełnia warunek

Iloczyny tensorowe C*-algebr były rozważane po raz pierwszy przez Takasi Turumaru w latach 50. XX w.T. Turumaru, On the direct product of operator algebras, I, „Tohoku Math. J.”, 4 (1952), s. 242–151.T. Turumaru, On the direct-product of operator algebras, II. „Tohoku Math. J.” 5 (1953), s. 1–7.T. Turumaru, On the direct-product of operator algebras, III. „Tohoku Math. J.” 6 (1954), s. 208–211.T. Turumaru, On the direct product of operator algebras, IV. „Tohoku Math. J.” 8 (1956), s. 281–285.

Minimalny iloczyn tensorowy C*-algebr Niech i będą C*-algebrami oraz niech będą, odpowiednio, ich reprezentacjami na przestrzeniach Hilberta i Wzór

definiuje reprezentację *-algebry na iloczynie tensorowym przestrzeni Hilberta

Minimalnym iloczynem tensorowym pary C*-algebr i nazywane jest uzupełnienie normy na danej wzorem

gdzie supremum przebiega po wszystkich reprezentacjach odpowiednio, algebr i Minimalny iloczyn tensorowy jest zwykle oznaczany symbolem

Maksymalny iloczyn tensorowy C*-algebr Maksymalnym iloczynem tensorowym pary C*-algebr i nazywane jest uzupełnienie normy na danej wzorem

gdzie supremum przebiega po wszystkich reprezentacjach (na przestrzeni Hilberta) *-algebry Maksymalny iloczyn tensorowy jest zwykle oznaczany symbolem

Nuklearne C*-algebry

Nazwy minimalny i maksymalny iloczyn tensorowy biorą się z następującego faktu – jeżeli jest jakąkolwiek C*-normą na to

C*-algebra nazywana jest nuklearną, gdy dla każdej innej C*-algebry normy minimalnego i maksymalnego iloczynu tensorowego w są równe, tj.

W przypadku tensorowania C*-algebry z nuklearną C*-algebrą symbolem oznacza się najczęściej (jedyny) uzupełniony iloczyn tensorowy. Każda przemienna C*-algebra jest nuklearna.

Przypisy

Bibliografia M. Rørdam, Classification of nuclear simple C*-algebras, w: Classification of nuclear C*-algebras. Entropy in operator algebras, Encyclopaedia Math. Sci. 126, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2002.

Kategoria:C*-algebry