Na przykład funkcja
spełnia wszystkie te nierówności, lecz nie jest różnowartościowa w kole jednostkowym, ponieważ
Historia W pracy z 1916 roku Bieberbach udowodnił pierwszy nietrywialny przypadek,
Wykorzystał przy tym twierdzenie polowe Gronwalla. Dla funkcji rozważa się funkcję jednolistną na zewnątrz koła jednostkowego
Twierdzenie polowe daje , a więc . Funkcja Koebego osiąga równość, co skłoniło Bieberbacha do postawienia analogicznego przypuszczenia dla wszystkich współczynników.
W 1923 roku Karl Löwner udowodnił przypadek . W tym celu rozwinął parametryczną metodę odwzorowań konforemnych, opartą na równaniu różniczkowym znanym obecnie jako równanie Löwnera. Metoda ta stała się później jednym z głównych składników pełnego dowodu.
Przypadek udowodnili w 1955 roku Paul Garabedian i Menahem Schiffer. W 1960 roku Zygmunt Charzyński i Schiffer podali prostszy dowód tego przypadku, a następnie także jego dowód geometryczny.
Przypadek udowodnili pod koniec lat 60. XX wieku, niezależnymi metodami, Roger Pederson i Mitsuru Ozawa. Co znamienne, przypadek pozostawał wtedy nadal otwarty. Został rozwiązany dopiero w 1972 roku przez Pedersona i Schiffera.
Równolegle poszukiwano oszacowań obowiązujących dla wszystkich współczynników, lecz z większą stałą.