Twierdzenie de Brangesa, wcześniej znane jako hipoteza Bieberbacha – twierdzenie analizy zespolonej dotyczące współczynników szeregu Taylora znormalizowanych funkcji holomorficznych i jednolistnych w kole jednostkowym. Jeżeli funkcja

jest holomorficzna i różnowartościowa w kole , to

dla każdego . Oszacowanie jest ostre, a równość dla choćby jednego zachodzi wyłącznie dla odpowiednio obróconej funkcji Koebego.

Rezultat został sformułowany jako hipoteza przez Ludwiga Bieberbacha w 1916 roku. Pełny dowód przedstawił w 1984 roku Louis de Branges, a jego ostateczna wersja została opublikowana w 1985 roku.

Sformułowanie Niech

będzie otwartym kołem jednostkowym. Przez oznacza się klasę funkcji

które są holomorficzne, różnowartościowe oraz spełniają warunki normalizacyjne

Każda funkcja należąca do ma rozwinięcie

Normalizacja nie ogranicza istoty problemu. Jeżeli jest dowolną funkcją holomorficzną i jednolistną w , to funkcja

należy do .

Twierdzenie de Brangesa mówi, że dla każdej funkcji i każdego zachodzi

Równoważnie, dla funkcjonału współczynnikowego

zachodzi .

Funkcja Koebego i ostrość oszacowania Funkcją ekstremalną w hipotezie jest funkcja Koebego

Ma ona rozwinięcie

i odwzorowuje koło jednostkowe na płaszczyznę zespoloną z usuniętą półprostą:

W szczególności , a jej współczynniki spełniają , co pokazuje, że stałej w twierdzeniu nie można zmniejszyć.

Dla każdego obrócona funkcja Koebego ma postać

Dlatego wszystkie jej współczynniki spełniają

De Branges wykazał również twierdzenie o jednoznaczności przypadku ekstremalnego: jeżeli dla pewnej funkcji i pewnego zachodzi , to dla pewnego .

Charakter problemu ekstremalnego W topologii zbieżności jednostajnej na zwartych podzbiorach koła klasa jest zwarta. Funkcjonał przyporządkowujący funkcji jej -ty współczynnik jest w tej topologii ciągły, a zatem osiąga na maksimum. Treścią hipotezy Bieberbacha było dokładne wyznaczenie tego maksimum i wskazanie wszystkich funkcji, dla których jest ono osiągane.

Warunek

nie jest jednak charakterystyką funkcji jednolistnych. Na przykład funkcja

spełnia wszystkie te nierówności, lecz nie jest różnowartościowa w kole jednostkowym, ponieważ

Historia W pracy z 1916 roku Bieberbach udowodnił pierwszy nietrywialny przypadek,

Wykorzystał przy tym twierdzenie polowe Gronwalla. Dla funkcji rozważa się funkcję jednolistną na zewnątrz koła jednostkowego

Twierdzenie polowe daje , a więc . Funkcja Koebego osiąga równość, co skłoniło Bieberbacha do postawienia analogicznego przypuszczenia dla wszystkich współczynników.

W 1923 roku Karl Löwner udowodnił przypadek . W tym celu rozwinął parametryczną metodę odwzorowań konforemnych, opartą na równaniu różniczkowym znanym obecnie jako równanie Löwnera. Metoda ta stała się później jednym z głównych składników pełnego dowodu.

Przypadek udowodnili w 1955 roku Paul Garabedian i Menahem Schiffer. W 1960 roku Zygmunt Charzyński i Schiffer podali prostszy dowód tego przypadku, a następnie także jego dowód geometryczny.

Przypadek udowodnili pod koniec lat 60. XX wieku, niezależnymi metodami, Roger Pederson i Mitsuru Ozawa. Co znamienne, przypadek pozostawał wtedy nadal otwarty. Został rozwiązany dopiero w 1972 roku przez Pedersona i Schiffera.

Równolegle poszukiwano oszacowań obowiązujących dla wszystkich współczynników, lecz z większą stałą. W 1925 roku John Edensor Littlewood wykazał oszacowanie

Później stałą tę stopniowo zmniejszano. Walter Hayman udowodnił natomiast twierdzenie asymptotyczne: dla każdej ustalonej funkcji istnieje granica

przy czym wyłącznie dla funkcji Koebego i jej obrotów. Wynik ten nie dawał jednolitego oszacowania dla wszystkich funkcji i wszystkich współczynników, ale potwierdzał asymptotyczną rolę funkcji Koebego.

Hipoteza Robertsona Ważnym krokiem było zastąpienie oszacowania pojedynczego współczynnika nierównością kwadratową dla całej grupy współczynników.

Dla funkcji definiuje się funkcję nieparzystą

wybierając gałąź pierwiastka spełniającą . Funkcja jest również jednolistna w .

W 1936 roku Milledge S. Robertson postawił hipotezę, że dla każdej znormalizowanej nieparzystej funkcji jednolistnej

zachodzi

dla każdego .

Hipoteza Robertsona implikuje hipotezę Bieberbacha. Z równości

wynika

Na mocy nierówności Cauchy’ego–Schwarza

Hipoteza Milina Dla funkcji iloraz jest holomorficzny i nie ma zer w kole jednostkowym. Można więc zdefiniować jej współczynniki logarytmiczne przez rozwinięcie

W 1971 roku Isaak Milin postawił hipotezę, że dla każdego zachodzi

Nierówności Lebiediewa–Milina dla współczynników funkcji wykładniczych pokazują, że hipoteza Milina implikuje hipotezę Robertsona. Otrzymuje się zatem łańcuch implikacji hipoteza Milina → hipoteza Robertsona → hipoteza Bieberbacha.

De Branges udowodnił właśnie silniejszą hipotezę Milina, a nie jedynie pierwotne oszacowanie Bieberbtacha.

Zarys dowodu de Brangesa Dowód wykorzystuje parametryczną metodę Löwnera. Funkcję z odpowiednio gęstej podklasy umieszcza się w rodzinie funkcji jednolistnych

spełniającej równanie Löwnera. W przypadku odwzorowań na obszary szczelinowe równanie to można zapisać w postaci .

Współczynniki logarytmiczne funkcji zależą od parametru . Dla każdego ustalonego de Branges skonstruował ważoną wersję lewej strony nierówności Milina. Wagi były rozwiązaniami odpowiednio dobranego skończonego układu równań różniczkowych. Funkcjonał ten:

dla przyjmował wartość równą lewej stronie nierówności Milina; dążył do zera, gdy ; był funkcją niemalejącą parametru .

Z tych własności wynikało, że jego wartość dla jest niedodatnia, czyli że zachodzi hipoteza Milina.

Najtrudniejszym składnikiem było wykazanie monotoniczności wag. Ich pochodne można przedstawić za pomocą sum wielomianów Jacobiego. Potrzebna dodatniość wynikała z twierdzenia Richarda Askeya i George’a Gaspera o dodatnich sumach tych wielomianów.

Wczesna wersja dowodu była znacznie dłuższa od ostatecznej publikacji i początkowo spotkała się ze sceptycyzmem. Wiosną 1984 roku de Branges przez kilka miesięcy przedstawiał argument na seminarium geometrycznej teorii funkcji w Leningradzie. Uczestnicy seminarium sprawdzili dowód i pomogli uporządkować jego prezentację. Uproszczoną wersję argumentu ogłosili następnie FitzGerald i Pommerenke.

W 1991 roku Lenard Weinstein opublikował znacznie krótszy dowód oparty również na teorii Löwnera. Związek pomiędzy funkcjami występującymi w dowodach de Brangesa i Weinsteina oraz nierównością Askeya–Gaspera został później szczegółowo opisany przez Wolframa Koepfa.

Konsekwencje Z nierówności współczynnikowych można bezpośrednio uzyskać górne oszacowania wzrostu funkcji. Jeżeli i , to

Podobnie

Są to górne części klasycznych twierdzeń o wzroście i zniekształceniu dla funkcji jednolistnych. Granice te osiąga funkcja Koebego lub jej odpowiednia rotacja.

Znaczenie Hipoteza Bieberbacha przez niemal siedemdziesiąt lat należała do najważniejszych problemów geometrycznej teorii funkcji. Próby jej rozwiązania przyczyniły się między innymi do rozwoju:

parametrycznej metody Löwnera; metod wariacyjnych w teorii odwzorowań konforemnych; teorii współczynników funkcji jednolistnych; nierówności dla współczynników logarytmicznych; zastosowań przestrzeni Hilberta w teorii funkcji; związków pomiędzy analizą zespoloną a teorią wielomianów ortogonalnych.

Znaczenie problemu wykraczało zatem poza samo oszacowanie . W procesie jego rozwiązywania powstały samodzielnie ważne twierdzenia, w szczególności teoria Löwnera, nierówności Lebiediewa–Milina oraz zastosowane ostatecznie twierdzenie Askeya–Gaspera.

Zobacz też twierdzenie Koebego-Bieberbacha twierdzenie Riemanna o odwzorowaniu odwzorowanie konforemne funkcja jednolistna równanie Löwnera wielomiany Jacobiego nierówność Fekete-Szegő

Przypisy

Linki zewnętrzne Jaroslav Zemánek, „Hipoteza Bieberbacha, 1916–1984” w serwisie Polskiego Towarzystwa Matematycznego Louis de Branges, „A proof of the Bieberbach conjecture” Przegląd historii problemu i dowodów de Brangesa oraz Weinsteina

Kategoria:Analiza zespolona Kategoria:Hipotezy matematyczne Kategoria:Twierdzenia matematyczne Kategoria:Historia matematyki