Jeżeli jest dowolną funkcją holomorficzną i jednolistną w , to funkcja
należy do .
Twierdzenie de Brangesa mówi, że dla każdej funkcji i każdego zachodzi
Równoważnie, dla funkcjonału współczynnikowego
zachodzi .
Funkcja Koebego i ostrość oszacowania Funkcją ekstremalną w hipotezie jest funkcja Koebego
Ma ona rozwinięcie
i odwzorowuje koło jednostkowe na płaszczyznę zespoloną z usuniętą półprostą:
W szczególności , a jej współczynniki spełniają , co pokazuje, że stałej w twierdzeniu nie można zmniejszyć.
Dla każdego obrócona funkcja Koebego ma postać
Dlatego wszystkie jej współczynniki spełniają
De Branges wykazał również twierdzenie o jednoznaczności przypadku ekstremalnego: jeżeli dla pewnej funkcji i pewnego zachodzi , to dla pewnego .
Charakter problemu ekstremalnego W topologii zbieżności jednostajnej na zwartych podzbiorach koła klasa jest zwarta. Funkcjonał przyporządkowujący funkcji jej -ty współczynnik jest w tej topologii ciągły, a zatem osiąga na maksimum. Treścią hipotezy Bieberbacha było dokładne wyznaczenie tego maksimum i wskazanie wszystkich funkcji, dla których jest ono osiągane.
Warunek
nie jest jednak charakterystyką funkcji jednolistnych.