Intuicyjnie moglibyśmy powiedzieć, że bycie przez niego takim oto właśnie zbiorem, oznacza, że jest on topologicznie (w sensie topologicznym): mały.
Dowód Stefana Banacha
Niech oznacza przestrzeń Banacha funkcji ciągłych na odcinku z normą supremum.
Ponadto, niech dla wszelkich liczb naturalnych , dany będzie zbiór (którego dokładna definicja w przypadku każdego , jest uzależniona od konkretnej wartości ):
Tak określone zbiory ( jest liczbą naturalną) są domknięte. Istotnie, niech będzie ciągiem funkcji ze zbioru zbieżnym do pewnej funkcji Niech będzie takim punktem, dla którego funkcja spełnia warunek w definicji zbioru ; oraz niech jeszcze będzie punktem skupienia ciągu (możemy mieć pewność, że taki punkt istnieje; co wynika z (ciągowej) zwartości odcinka ). Wówczas funkcja graniczna spełnia warunek określający zbiory (przy różnych ) w punkcie tj. co dowodzi domkniętości zbiorów .
Niech będzie rodziną funkcji ciągłych, odcinkami liniowych (tj. takich, których wykresami są łamane). Zbiór ten jest gęsty w Ponadto każdą funkcję ze zbioru można aproksymować z dowolną dokładnością funkcjami spoza zbioru Wynika stąd, iż
co w szczególności implikuje, że każdy ze zbiorów ma puste wnętrze. Dowodzi to, że zbiory są brzegowe.
Każdy ze zbiorów jest domknięty i brzegowy, a więc nigdziegęsty.