σ-алгебра — алгебра мностваў, замкнутая адносна аперацыі злічальнага аб’яднання. Паняцце σ-алгебры мае важнае значэнне для тэорыі імавернасцей, дзе выступае адным з элементаў імавернаснай прасторы.
Азначэнне
Алгебра падмностваў мноства называецца σ-алгебрай, калі для кожнай злічонай сям’і справядлівае адно з судачыненняўЗвяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5.:
Карыстаючыся , можна паказаць, што са злічонага аб’яднання вынікае перасячэнне, і наадварот, з перасячэння вынікае аб’яднанне. Таму толькі аднаго з гэтых судачыненняў дастаткова патрабаваць для задання σ-алгебры.
Самая маленькая сярод усіх магчымых σ-алгебраў, што змяшчаюць усе тапалагічнай прасторы, называецца сігма-алгебрай барэлеўскіх мностваў .
Неэквівалентнасць азначэнню алгебры мностваў
Не ўсе алгебры мностваў адпавядаюць азначэнню σ-алгебрыЗвяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5.. Для доказу дастаткова прывесці прыклад такой алгебры.
Няхай мноства рэчаісных лікаў. Праз пазначым мноства ўсіх тых падмностваў , якія з’яўляюцца канечнымі аб’яднаннямі (у тым ліку аднапунктавых і ). Можна паказаць, што калі , то і яго дадатак (дадатак канечнага аб’яднання звязных мностваў з’яўляецца канечным аб’яданнем звязных мностваў). Відавочна, што калі і , то . Такім чынам, — алгебра мностваў.
Цяпер пакажам, што — не σ-алгебра. Мноства рацыянальных лікаў не належыць , бо яго немагчыма запісаць у выглядзе канечнага аб’яднання звязаных мностваў. Пры гэтым кожнаму рацыянальнаму ліку адпавядае аднаэлементнае звязнае мноства . Вядома, што — злічальнае мноства, то бок яго можна прадставіць як , дзе кожнае , але само аб’яднанне не належыць . Такім чынам, парушаецца ўласцівасць σ-алгебры быць замкнутай адносна злічальнага аб’яднання, а значыць — не σ-алгебра.
Катэгорыя:Тэорыя мностваў