En mecànica quàntica, els resultats de la partícula quàntica en una caixa es poden utilitzar per examinar la situació d'equilibri d'un gas ideal quàntic en una caixa, que és una caixa que conté un gran nombre de molècules que no interactuen entre si, excepte per col·lisions termalitzants instantànies. Aquest model simple es pot utilitzar per descriure el gas ideal clàssic, així com els diversos gasos ideals quàntics, com ara el gas de Fermi massiu ideal, el gas de Bose massiu ideal, així com la radiació del cos negre (gas de fotó), que es pot tractar com un gas de Bose sense massa, en què se sol suposar que la termalització es facilita per la interacció dels fotons amb una massa equilibrada.

Utilitzant els resultats de les estadístiques de Maxwell-Boltzmann, Bose-Einstein o Fermi-Dirac, i considerant el límit d'una caixa molt gran, l'aproximació de Thomas-Fermi (anomenada així per Enrico Fermi i Llewellyn Thomas) s'utilitza per expressar la degeneració dels estats energètics com a diferencial, i les sumes sobre els estats com a integrals. Això permet calcular les propietats termodinàmiques del gas amb l'ús de la funció de partició o la funció de gran partició. Aquests resultats s'aplicaran tant a partícules massives com a partícules sense massa. Càlculs més complets es deixaran per a articles separats, però en aquest article es donaran alguns exemples senzills.

Aproximació de Thomas-Fermi per a la degeneració d'estats Tant per a partícules massives com sense massa en una caixa, els estats d'una partícula s'enumeren mitjançant un conjunt de nombres quàntics . La magnitud del moment ve donada per

on h és la constant de Planck i L és la longitud d'un costat de la caixa. Cada estat possible d'una partícula es pot considerar com un punt en una quadrícula tridimensional d'enters positius. La distància des de l'origen fins a qualsevol punt serà

Suposem que cada conjunt de nombres quàntics especifica f estats on f és el nombre de graus de llibertat interns de la partícula que es poden alterar per col·lisió. Per exemple, un espín Una partícula d' tindria , una per a cada estat d'espín. Per a valors grans de n, el nombre d'estats amb una magnitud de moment inferior o igual a p de l'equació anterior és aproximadament

que és només f vegades el volum d'una esfera de radi n dividit per vuit, ja que només es considera l'octant amb ni positiu. Utilitzant una aproximació contínua, el nombre d'estats amb una magnitud de moment entre p i és, per tant,

on V = L 3 és el volum de la caixa. Cal tenir en compte que en utilitzar aquesta aproximació contínua, també coneguda com a aproximació de Thomas-Fermi, es perd la capacitat de caracteritzar els estats de baixa energia, inclòs l'estat fonamental on En la majoria dels casos, això no serà un problema, però quan es considera la condensació de Bose-Einstein, en què una gran part del gas es troba en o prop de l'estat fonamental, la capacitat de tractar els estats de baixa energia esdevé important.

Sense utilitzar cap aproximació, el nombre de partícules amb energia εive donat per

on és la degeneració de l'estat i i amb , la constant de Boltzmann k B, la temperatura T i el potencial químic μ. (Vegeu estadístiques de Maxwell-Boltzmann, estadístiques de Bose-Einstein i estadístiques de Fermi-Dirac.)

Utilitzant l'aproximació de Thomas−Fermi, el nombre de partícules dN E amb energia entre E i és:

on és el nombre d'estats amb energia entre E i .

Distribució d'energia Utilitzant els resultats derivats de les seccions anteriors d'aquest article, ara es poden determinar algunes distribucions per al gas en una caixa. Per a un sistema de partícules, la distribució per a una variable es defineix mitjançant l'expressió que és la fracció de partícules que tenen valors per a entre i

on

, nombre de partícules que tenen valors per a entre i , nombre d'estats que tenen valors per a entre i , probabilitat que un estat que té el valor estigui ocupat per una partícula , nombre total de partícules.

D'això es dedueix que:

Per a una distribució de momentum , la fracció de partícules amb una magnitud de moment entre i és:

i per a una distribució d'energia , la fracció de partícules amb energia entre i és:

Per a una partícula en una caixa (i també per a una partícula lliure), la relació entre l'energia i impuls és diferent per a partícules massives i sense massa. Per a partícules massives,

mentre que per a partícules sense massa,

on és la massa de la partícula i és la velocitat de la llum. Utilitzant aquestes relacions,

Per a partícules massives on és la longitud d'ona tèrmica del gas. Aquesta és una quantitat important, ja que quan és de l'ordre de la distància entre partícules , els efectes quàntics comencen a dominar i el gas ja no es pot considerar un gas de Maxwell-Boltzmann. Per a partícules sense massa on és ara la longitud d'ona tèrmica per a partícules sense massa.

Exemples específics Les seccions següents donen exemples de resultats per a alguns casos específics.

Partícules massives de Maxwell-Boltzmann Per a aquest cas:

Integrant la funció de distribució d'energia i resolent per a N obtenim

Substituint a la funció de distribució d'energia original s'obté

que són els mateixos resultats obtinguts clàssicament per a la distribució de Maxwell-Boltzmann. Es poden trobar més resultats a la secció clàssica de l'article sobre el gas ideal.

Partícules massives de Bose-Einstein Per a aquest cas:

on

Integrant la funció de distribució d'energia i resolent per N obtenim el nombre de partícules

on Li s ( z) és la funció del polilogaritme. El terme del polilogaritme ha de ser sempre positiu i real, la qual cosa significa que el seu valor anirà de 0 a ζ (3/2) a mesura que z va de 0 a 1. A mesura que la temperatura baixa cap a zero, es farà cada cop més gran, fins que finalment arribarà a un valor crític on i

on denota la funció zeta de Riemann. La temperatura a la qual és la temperatura crítica. Per a temperatures inferiors a aquesta temperatura crítica, l'equació anterior per al nombre de partícules no té solució. La temperatura crítica és la temperatura a la qual comença a formar-se un condensat de Bose-Einstein. El problema és, com s'ha esmentat anteriorment, que l'estat fonamental s'ha ignorat en l'aproximació del continu. Tanmateix, resulta que l'equació anterior per al nombre de partícules expressa força bé el nombre de bosons en estats excitats, i per tant:

on el terme afegit és el nombre de partícules en l'estat fonamental. L'energia de l'estat fonamental s'ha ignorat. Aquesta equació es mantindrà fins a la temperatura zero. Es poden trobar més resultats a l'article sobre el gas de Bose ideal.

Referències

Categoria:Mecànica quàntica