miniatura|Una representació simètrica de l'esfera d'Apol·loni. Lesfera d'Apol·loni (anomenada també empaquetament de Leibniz i empaquetament apol·lonià) en geometria és un fractal generat per aplecs de circumferències mútuament tangents densament empaquetades en una circumscrita. El nom es deu al matemàtic grec Apol·loni de Perge del segle III aC. El tamís és un fractal autosemblant que posseeix una dimensió de Hausdorff desconeguda, però de la qual se sap que és al voltant de 1.3057, i que és major que la d'una corba regular o rectificable (d = 1) però més petita que la d'un pla (d = 2). Malgrat el seu nom, és precisament el matemàtic alemany Gottfried Leibniz qui descrigué per la primera vegada l'esfera d'Apol·loni ja en el , essent el precursor corb del triangle de Sierpinski del .Boyd D.W. (1973). «The Residual Set Dimension of the Apollonian Packing». Mathematika (en inglés) 20: 170-174. doi:10.1112/S0025579300004745. McMullen, Curtis T (1998). «Hausdorff dimension and conformal dynamics III: Computation of dimension» (PDF). American Journal of Mathematics (en inglés) 120: 691-721. doi:10.1353/ajm.1998.0031. Aste T, Weaire D (2008). In Pursuit of Perfect Packing (en inglés) (2da. edición). New York: Taylor and Francis. pp. 131–138. ISBN 978-1420068177. 

L'esfera d'Apol·loni també posseeix connexions profundes amb altres camps de les matemàtiques, per exemple, és l'aplec límit dels grups kleinians, un grup finit tipus Γ generat per l'orientació i preservació de certs mapes en la 1-esfera sobre . La disposició d'una circumferència tangent a quatre circumferències en el pla té propietats especials, que van ser aclarides per A. Larmor el 1891 (en inglés) i R. Lachlan el 1893. Aquesta disposició també és la base del teorema de Casey, que és una generalització del teorema de Ptolemeu.

Construcció esquerra|miniatura|Seqüència constructiva de l'esfera d'Apol·loni. L'esfera d'Apol·loni es construeix mitjançant un procediment geomètric recursiu que comença amb tres circumferències A, B i C, cada una és mútuament tangent a les altres dues. En la construcció general les tres circumferències poden tenir qualsevol radi diferent entre si, podent tenir en qualsevol cas els seus tres punts de tangència. Apol·loni va descobrir que existeixen altres dues circumferències D i E, que té la propietat de ser tangents a les tres circumferències inicials – aquestes dues circumferències s'anomenen cercles d'Apol·loni. (vegeu el teorema de Descartes per a una demostració detallada). Si afegim aquestes dues circumferències a les tres inicials la construcció geomètrica tindrà ara cinc circumferències: {A, B, C, D, E}.

Prenent un dels dos cercles d'Apol·loni. – per exemple E. Aquest posseeix un punt de tangència respecte als cercles A i B, d'aquesta forma la tripleta de circumferències E, A i B té de nou els seus propis dos cercles d'Apol·loni. D'aquesta forma se sap que un d'ells és C – i l'altre correspon a un nou cercle G. Si continuem amb el procediment s'aconseguirà trobar una altra circumferència F que és tangent a E, B i C, i igualment una altra circumferència H construïda de E, C i A. D'aquesta forma apareixen altres tres noves circumferències. Es pot construir altres nous tres cercles emprant D en lloc de E juntament amb A, B i C, forneix llavors sis nous cercles a l'aplec inicial. Juntament amb els A a E, això forneix un total d'onze cercles.

Si es continua amb la lògica de la construcció d'aquesta mateixa forma, s'afegeixen 2·3n nous cercles en el pas n, la qual cosa forneix un total de 3n+1 + 2 cercles després d'executar n passos. En el límit a l'infinit, fa que aquest aplec de circumferències obtingut el que s'anomena esfera d'Apol·loni. El procediment inspirarà posteriorment al matemàtic polonès Wacław Sierpiński a construir el seu famós triangle (anomenat igualment esfera de Sierpinski).

L'esfera d'Apol·loni posseeix una dimensió de Hausdorff desconeguda, encara que se suposa en l'interval: 1.300197 < D < 1.314534. Alguns càlculs l'aproximen a 1.3057.

Variacions miniatura|Empaquetament d'esferes d'Apol·loni. L'esfera d'Apol·loni pot ser construïda de diverses formes. Les tres circumferències generatrius poden tenir el mateix radi i d'aquesta forma es representa el que rep el nom d'esfera d'Apol·loni simètrica. Per exemple, si en lloc d'emprar circumferències generatrius es tracen rectes. Alternativament, dos dels cercles poden ser reemplaçats per dues rectes paral·leles. En aquesta construcció, els cercles que són tangents a una de les dues rectes formen una família de cercles de Ford.

De la mateixa forma existeix una versió tridimensional de l'esfera d'Apol·loni, que es diu empaquetament d'esferes d'Apol·loni.

Simetries Si dos dels cercles generatrius (dels tres inicials) posseïssin el mateix radi i el tercer tingués com a ràdio les dues terceres parts dels altres dos. En aquest cas el tamís posseeix dues línies de simetria reflectiva; una línia unint els centres dels dos cercles de ràdio igual; l'altra és la línia que passa per les seves dues mútues tangències, recta que passa igualment pel centre del tercer cercle. Aquests dos eixos posseeixen la propietat de ser perpendiculars entre si, d'aquesta forma l'esfera d'Apol·loni construïda posseeix simetria rotacional de grau 2; el grup de simetria d'aquest tamís és D2.

Si els tres cercles generatrius posseeixen el mateix radi llavors l'esfera d'Apol·loni té tres eixos de simetria especular; aquestes línies passen pels tres punts que formen la tangència mútua, essent que cada línia passa pel centre del tercer cercle i el centre del primer dels dos cercles d'Apol·loni. Aquestes línies de simetria formen angles de seixanta graus entre si, d'aquesta forma l'esfera d'Apol·loni construïda amb circumferències generatrius de ràdio igual posseeix simetria rotacional de grau tres; el grup de simetria d'aquest tamís és D3.

Lligams amb la geometria hiperbòlica Per a la construcció de l'esfera d'Apol·loni cal tres circumferències generatrius mútuament tangents, és a dir que la localització dels seus tres punts de tangència defineix el procés. D'altra banda, com existeix una transformació de Möbius que mapa en el pla tres punts qualssevol en altres tres punts, i com les transformacions de Möbius preserven cercles, llavors existeix una transformació de Möbius que mapa qualssevol de les dues esferes d'Apol·loni. Les transformacions de Möbius són també isometries del pla hiperbòlic, d'aquesta forma en la geometria hiperbòlica totes les esferes són congruents. En aquest esguard, per a cada isometria hiperbòlica existeix una única esfera d'Apol·loni.

Empaquetament sencer de cercles en l'esfera d'Apol·loni La curvatura de les circumferències es defineix com la inversa del radi cercle, en l'empaquetament d'Apol·loni els nombres de curvatura s'expressen com a nombres enters. Com més gran sigui el nombre de menor dimensió és la circumferència. Una disposició de l'esfera donada pot anar determinada per quatre dels seus primers cercles, és a dir pel radi d'aquests, o el que és igual per la seva curvatura. En ser expressades en nombres enters, l'empaquetament de circumferències es diu: empaquetament sencer de cercles en l'esfera d'Apol·loni. Alguns casos són:Una curvatura negativa indica que els altres cercles són internament tangents al cercle, és a dir que és un cercle que els conté. Si qualsevol dels quatre cercles generatrius de l'esfera d'Apol·loni té curvatures senceres, la sèrie infinita de circumferències que es dedueix a partir d'aquests posseeixen també curvatures senceres. Les primeres sèries d'aquests tamisos sencers d'Apol·loni es mostren en les taules adjuntes més avall. Aquestes taules mostren les curvatures dels cercles de dimensió més elevada en l'esfera. Sols les primeres tres curvatures (de les cinc representades en la taula) són necessàries per a completar i descriure l'esfera – totes les altres curvatures es poden derivar d'aquestes tres. + Esfera sencera d'Apol·loni Curvatures de començ Simetria −1, 2, 2, 3, 3 D2 −2, 3, 6, 7, 7 D1 −3, 4, 12, 13, 13 D1 −3, 5, 8, 8, 12 D1 −4, 5, 20, 21, 21 D1 −4, 8, 9, 9, 17 D1 −5, 6, 30, 31, 31 D1 −5, 7, 18, 18, 22 D1 −6, 7, 42, 43, 43 D1 −6, 10, 15, 19, 19 D1 −6, 11, 14, 15, 23 C1 −7, 8, 56, 57, 57 D1 −7, 9, 32, 32, 36 D1 −7, 12, 17, 20, 24 C1 −8, 9, 72, 73, 73 D1 −8, 12, 25, 25, 33 D1 −8, 13, 21, 24, 28 C1 −9, 10, 90, 91, 91 D1 −9, 11, 50, 50, 54 D1 −9, 14, 26, 27, 35 C1 −9, 18, 19, 22, 34 C1 −10, 11, 110, 111, 111 D1 −10, 14, 35, 39, 39 D1 −10, 18, 23, 27, 35 C1

+ Esfera sencera d'Apol·loni Curvatures de començ Simetria −11, 12, 132, 133, 133 D1 −11, 13, 72, 72, 76 D1 −11, 16, 36, 37, 45 C1 −11, 21, 24, 28, 40 C1 −12, 13, 156, 157, 157 D1 −12, 16, 49, 49, 57 D1 −12, 17, 41, 44, 48 C1 −12, 21, 28, 37, 37 D1 −12, 21, 29, 32, 44 C1 −12, 25, 25, 28, 48 D1 −13, 14, 182, 183, 183 D1 −13, 15, 98, 98, 102 D1 −13, 18, 47, 50, 54 C1 −13, 23, 30, 38, 42 C1 −14, 15, 210, 211, 211 D1 −14, 18, 63, 67, 67 D1 −14, 19, 54, 55, 63 C1 −14, 22, 39, 43, 51 C1 −14, 27, 31, 34, 54 C1 −15, 16, 240, 241, 241 D1 −15, 17, 128, 128, 132 D1 −15, 24, 40, 49, 49 D1 −15, 24, 41, 44, 56 C1 −15, 28, 33, 40, 52 C1 −15, 32, 32, 33, 65 D1

Simetria en els empaquetaments sencers Segons la curvatura dels cinc primers cercles, la seqüència infinita d'empaquetament de cercles en el tamís tindrà les unes o les altres propietats de simetria. D'aquesta forma es té que:

Cas sense simetria Si cap de les curvatures es repeteix l'aplec llavor dels cinc cercles inicials, l'esfera no posseirà cap simetria. El que l'inclou en el grup de simetria C1; L'esfera descrita per les curvatures (−10, 18, 23, 27) és un exemple.

Cas amb simetria D1 Si entre els cinc cercles de més grandària, dues posseeixen la mateixa curvatura, l'esfera resultant tindrà una simetria del tipus D1, la qual cosa correspon a simetries de reflexió al llarg de l'eix que passa pel centre de les dues circumferències. Sense existir simetria rotacional.

Cas amb simetria D2 Si dues diferents curvatures es repeteixen entre els primers cercles generatrius, l'esfera posseirà una simetria D2 symmetry; una tal simetria consisteix en dos eixos de reflexió (perpendiculars entre si) i que passen al llarg dels centres de les circumferències de mateixa curvatura. L'aplec posseeix igualment una simetria rotacional de 180°. El tamís descrit per les curvatures (−1, 2, 2, 3) és l'única esfera d'Apol·loni (sense comptar amb el factor d'escala) que posseeix simetria D2.

Cas de simetria D3 No existeixen casos d'esferes d'Apol·loni amb simetria D3.

Vegeu també Problema d'Apol·loni

Referències

Categoria:Fractals Categoria:Cercles