El mètode de càrregues imatge (també conegut com a mètode d'imatges i mètode de càrregues de mirall) és una eina bàsica per a la resolució de problemes en electroestàtica. El nom prové de la substitució de certs elements de la disposició original per càrregues fictícies, que repliquen les condicions de contorn del problema (vegeu condicions de contorn de Dirichlet o condicions de contorn de Neumann).

La validesa del mètode de les càrregues d'imatge es basa en un corol·lari del teorema d'unicitat, que estableix que el potencial elèctric en un volum V es determina de manera única si s'especifiquen tant la densitat de càrrega a tota la regió com el valor del potencial elèctric en tots els límits. Alternativament, l'aplicació d'aquest corol·lari a la forma diferencial de la llei de Gauss mostra que en un volum V envoltat de conductors i que conté una densitat de càrrega especificada ρ, el camp elèctric es determina de manera única si es dóna la càrrega total de cada conductor. Si coneixem el potencial elèctric o el camp elèctric i les condicions de contorn corresponents, podem canviar la distribució de càrrega que estem considerant per una amb una configuració més fàcil d'analitzar, sempre que satisfaci l'equació de Poisson a la regió d'interès i assumeixi els valors correctes als límits.

Reflexió en un pla conductor miniatura|El camp d'una càrrega positiva sobre una superfície conductora plana, trobat pel mètode d'imatges. miniatura|Mètode d'imatges per a un moment dipolar elèctric en un pla conductor

Càrrecs puntuals L'exemple més simple del mètode de càrregues d'imatge és el d'una càrrega puntual, amb càrrega q, situada a per sobre d'una base infinita (és a dir: ) placa conductora en el pla xy . Per simplificar aquest problema, podem substituir la placa equipotencial per una càrrega − q, situada a Aquesta disposició produirà el mateix camp elèctric en qualsevol punt per al qual (és a dir, per sobre de la placa conductora) i compleix la condició de contorn que el potencial al llarg de la placa ha de ser zero. Aquesta situació és equivalent a la configuració original, i per tant la força sobre la càrrega real ara es pot calcular amb la llei de Coulomb entre dues càrregues puntuals.

El potencial en qualsevol punt de l'espai, a causa d'aquestes dues càrregues puntuals de càrrega + q a + a i − q a − a a l'eix z, es dóna en coordenades cilíndriques com a

Per tant, la densitat de càrrega superficial al pla connectat a terra ve donada per

A més, la càrrega total induïda sobre el pla conductor serà la integral de la densitat de càrrega sobre tot el pla, per tant:

La càrrega total induïda al pla resulta ser simplement − q. Això també es pot veure a partir de la llei de Gauss, considerant que el camp dipolar disminueix al cub de la distància a grans distàncies, i per tant el flux total del camp a través d'una esfera infinitament gran s'anul·la.

Com que els camps elèctrics satisfan el principi de superposició, un pla conductor sota múltiples càrregues puntuals es pot substituir per les imatges especulars de cadascuna de les càrregues individualment, sense necessitat de cap altra modificació.

Moments dipolars elèctrics La imatge d'un moment dipolar elèctric p a per sobre d'un pla conductor infinit connectat a terra en el pla xy hi ha un moment dipolar a amb magnitud i direcció iguals girades azimutalment per π. És a dir, un moment dipolar amb components cartesianes tindrà un moment dipolar en la imatge El dipol experimenta una força en la direcció z, donada per

i un parell de forces en el pla perpendicular al dipol i al pla conductor,

Reflexió en una interfície planar dielèctrica De manera similar al pla conductor, es pot considerar el cas d'una interfície planar entre dos medis dielèctrics diferents. Si una càrrega puntual es col·loca en el dielèctric que té la constant dielèctrica , aleshores la interfície (amb el dielèctric que té la constant dielèctrica ) desenvoluparà una càrrega de polarització lligada. Es pot demostrar que el camp elèctric resultant dins del dielèctric que conté la partícula es modifica d'una manera que es pot descriure mitjançant una càrrega d'imatge dins de l'altre dielèctric. Dins de l'altre dielèctric, però, la càrrega d'imatge no hi és present.

A diferència del cas del metall, la càrrega d'imatge no és exactament el contrari de la càrrega real: Pot ser que ni tan sols tingui el mateix signe si la càrrega es col·loca dins del material dielèctric més fort (les càrregues es repel·leixen des de les regions de constant dielèctrica més baixa). Això es pot veure a partir de la fórmula.

Reflexió en una esfera conductora miniatura|350x350px|Diagrama que il·lustra el mètode d'imatge per a l'equació de Laplace per a una esfera de radi R. El punt verd és una càrrega q que es troba dins de l'esfera a una distància p de l'origen, el punt vermell és la imatge d'aquest punt, amb càrrega − qR / p, que es troba fora de l'esfera a una distància R² / p de l'origen. El potencial produït per les dues càrregues és zero a la superfície de l'esfera. miniatura|300x300px|Línies de camp fora d'una esfera connectada a terra per a una càrrega col·locada fora de l'esfera.

Càrrecs puntuals El mètode d'imatges també es pot aplicar a una esfera. De fet, el cas de les càrregues d'imatge en un pla és un cas especial del cas d'imatges per a una esfera. Fent referència a la figura, volem trobar el potencial dins d'una esfera connectada a terra de radi R, centrada a l'origen, a causa d'una càrrega puntual dins de l'esfera a la posició (Per al cas contrari, el potencial fora d'una esfera a causa d'una càrrega fora de l'esfera, el mètode s'aplica de manera similar). A la figura, això es representa amb el punt verd. Sigui q la càrrega puntual d'aquest punt. La imatge d'aquesta càrrega respecte a l'esfera connectada a terra es mostra en vermell. Té una càrrega de q′ = −qR/p i es troba en una línia que connecta el centre de l'esfera i la càrrega interna a la posició vectorial. Es pot veure que el potencial en un punt especificat pel vector de radi deguda a ambdues càrregues per si soles ve donada per la suma dels potencials:

Multiplicant per l'expressió de la dreta s'obté: miniatura|300x300px|Diverses superfícies requereixen una sèrie infinita de càrregues d'imatge puntual.

i es pot veure que a la superfície de l'esfera (és a dir, quan ), el potencial s'anul·la. El potencial dins de l'esfera ve donat per l'expressió anterior per al potencial de les dues càrregues. Aquest potencial no serà vàlid fora de l'esfera, ja que la càrrega imatge no existeix realment, sinó que "substitueix" les densitats de càrrega superficial induïdes a l'esfera per la càrrega interna a El potencial fora de l'esfera connectada a terra només vindrà determinat per la distribució de càrrega fora de l'esfera i serà independent de la distribució de càrrega dins de l'esfera. Si suposem per simplicitat (sense pèrdua de generalitat) que la càrrega interna es troba a l'eix z, aleshores la densitat de càrrega induïda serà simplement una funció de l'angle polar θ i ve donada per:

La càrrega total de l'esfera es pot trobar integrant sobre tots els angles:

Tingueu en compte que el problema recíproc també es resol amb aquest mètode. Si tenim una càrrega q a la posició vectorial fora d'una esfera connectada a terra de radi R, el potencial fora de l'esfera ve donat per la suma dels potencials de la càrrega i la seva càrrega imatge dins de l'esfera. Igual que en el primer cas, la càrrega imatge tindrà càrrega − qR / p i estarà situada a la posició vectorial El potencial dins de l'esfera només dependrà de la distribució real de càrrega dins de l'esfera. A diferència del primer cas, la integral tindrà un valor de − qR / p .

Moments dipolars elèctrics La imatge d'un dipol puntual elèctric és una mica més complicada. Si el dipol es representa com dues càrregues grans separades per una petita distància, la imatge del dipol no només tindrà les càrregues modificades pel procediment anterior, sinó que també es modificarà la distància entre elles. Seguint el procediment anterior, es descobreix que un dipol amb moment dipolar a la posició vectorial que es troba dins de l'esfera de radi R tindrà una imatge situada a la posició del vector (és a dir, el mateix que per al càrrec simple) i tindrà un càrrec simple de:

i un moment dipolar de:

Mètode d'inversió El mètode d'imatges per a una esfera condueix directament al mètode d'inversió. Si tenim una funció harmònica de posició on són les coordenades esfèriques de la posició, aleshores la imatge d'aquesta funció harmònica en una esfera de radi R al voltant de l'origen serà

Si el potencial sorgeix d'un conjunt de càrregues de magnitud a posicions , aleshores el potencial d'imatge serà el resultat d'una sèrie de càrregues de magnitud a posicions . D'això es dedueix que si el potencial sorgeix d'una densitat de càrrega , aleshores el potencial d'imatge serà el resultat d'una densitat de càrrega .

Referències

Categoria:Electromagnetisme Categoria:Electroestàtica