miniatura|200x200px|Un diagrama esquemàtic d'una situació d'ona de xoc amb la densitat , velocitat , i la temperatura indicat per a cada regió. Les condicions de Rankine-Hugoniot, també conegudes com a condicions de salt de Rankine-Hugoniot o relacions de Rankine-Hugoniot, descriuen la relació entre els estats a banda i banda d'una ona de xoc o una ona de combustió (deflagració o detonació) en un flux unidimensional en fluids o una deformació unidimensional en sòlids. Reben el nom en reconeixement del treball realitzat per l'enginyer i físic escocès William John Macquorn Rankine i l'enginyer francès Pierre Henri Hugoniot. See also: Hugoniot, H. (1889) "Mémoire sur la propagation des mouvements dans les corps et spécialement dans les gaz parfaits (deuxième partie)" [Memoir on the propagation of movements in bodies, especially perfect gases (second part)], Journal de l'École Polytechnique, vol. 58, pages 1–125.
La idea bàsica de les condicions de salt és considerar què li passa a un fluid quan experimenta un canvi ràpid. Considerem, per exemple, impulsar un pistó contra un tub ple de gas no reactiu. Una pertorbació es propaga a través del fluid una mica més ràpid que la velocitat del so. Com que la pertorbació es propaga supersònicament, és una ona de xoc, i el fluid aigües avall del xoc no en té informació prèvia. En un marc de referència que es mou amb l'ona, els àtoms o molècules que es troben davant de l'ona xoquen contra l'ona supersònicament. A nivell microscòpic, pateixen col·lisions a l'escala de la longitud mitjana del recorregut lliure fins que arriben a reposar en el flux posterior al xoc (però movent-se en el marc de referència de l'ona o del tub). La transferència massiva d'energia cinètica escalfa el flux posterior al xoc. Com que se suposa que la longitud mitjana del recorregut lliure és insignificant en comparació amb totes les altres escales de longitud en un tractament hidrodinàmic, el front de xoc és essencialment una discontinuïtat hidrodinàmica. Les condicions de salt estableixen aleshores la transició entre el flux pre i post-xoc, basant-se únicament en la conservació de la massa, el moment i l'energia. Les condicions són correctes tot i que el xoc té en realitat un gruix positiu. Aquest exemple d'ona de xoc sense reacció també es generalitza a fluxos reactius, on un front de combustió (ja sigui una detonació o una deflagració) es pot modelar com una discontinuïtat en una primera aproximació.
Equacions governants En un sistema de coordenades que es mou amb la discontinuïtat, les condicions de Rankine-Hugoniot es poden expressar com:Williams, F. A. (2018). Combustion theory. CRC Press. Conservació de la massaConservació de l'impulsConservació de l'energia on m és el cabal màssic per unitat de superfície, ρ1 i ρ2 són la densitat de massa del fluid aigües amunt i aigües avall de l'ona, u1 i u2 són la velocitat del fluid aigües amunt i aigües avall de l'ona, p1 i p2 són les pressions a les dues regions, i h1 i h2 són les entalpies específiques (en el sentit de per unitat de massa) a les dues regions. Si a més, el flux és reactiu, aleshores les equacions de conservació d'espècies exigeixen que
desaparèixer tant aigües amunt com aigües avall de la discontinuïtat. Aquí, és la taxa de producció en massa de la i -èsima espècie del total de N espècies implicades en la reacció.
La combinació de la conservació de la massa i la quantitat de moviment ens dóna
que defineix una línia recta coneguda com la línia de Michelson-Rayleigh, anomenada així pel físic rus Vladimir A. Mikhelson (normalment anglicitzat com a Michelson) i Lord Rayleigh, que té un pendent negatiu (ja que
sempre és positiu) en el pla. Utilitzant les equacions de Rankine-Hugoniot per a la conservació de la massa i el moment per eliminar u1 i u2, l'equació per a la conservació de l'energia es pot expressar com l'equació d'Hugoniot:
La inversa de la densitat també es pot expressar com el volum específic,
Juntament amb això, cal especificar la relació entre l'equació d'estat aigües amunt i aigües avall.
La inversa de la densitat també es pot expressar com el volum específic,
on és la fracció màssica de l'espècie. Finalment, l'equació d'estat calorífica es considera conegut, és a dir,
Relacions Rankine-Hugoniot simplificades miniatura|300x300px|Corbes d'Hugoniot per a La regió ombrejada és inaccessible, ja que la recta de Rayleigh té un pendent positiu ( ) allà. Es fan les següents suposicions per tal de simplificar les equacions de Rankine-Hugoniot. Se suposa que la mescla obeeix la llei dels gasos ideals, de manera que la relació entre l'equació d'estat aigües avall i aigües amunt es pot escriure com
on és la constant universal dels gasos i el pes molecular mitjà es considera constant (en cas contrari, dependria de la fracció màssica de totes les espècies). Si se suposa que la calor específica a pressió constant també és constant a través de l'ona, el canvi d'entalpies (equació d'estat calorífic) es pot escriure simplement com
on el primer terme de l'expressió anterior representa la quantitat de calor alliberada per unitat de massa de la mescla aigües amunt per l'ona i el segon terme representa l'escalfament sensible. Eliminant la temperatura utilitzant l'equació d'estat i substituint l'expressió anterior pel canvi d'entalpies a l'equació d'Hugoniot, s'obté una equació d'Hugoniot expressada només en termes de pressió i densitats,
on és la relació calorífica específica, que per a l'aire a temperatura ambient normal ( ) = 1,40. Una corba d'Hugoniot sense alliberament de calor ( ) sovint s'anomena "Hugoniot de xoc", o simplement un "Hugoniot". Juntament amb l'equació de línia de Rayleigh, l'equació anterior determina completament l'estat del sistema. Aquestes dues equacions es poden escriure de manera compacta introduint les escales adimensionals següents,
L'equació de la línia de Rayleigh i l'equació d'Hugoniot es simplifiquen a
Donades les condicions aigües amunt, la intersecció de les dues equacions anteriors a - pla determina les condicions aigües avall; en el - pla, la condició aigües amunt correspon al punt Si no es produeix cap alliberament de calor, per exemple, ones de xoc sense reacció química, aleshores L'asímptota de les corbes d'Hugoniot a les rectes i , que es representen com a línies discontínues a la figura. Com s'esmenta a la figura, només es permet la regió blanca delimitada per aquestes dues asímptotes, de manera que és positiu. Les ones de xoc i les detonacions corresponen a la regió blanca superior esquerra on i , és a dir, la pressió augmenta i el volum específic disminueix al llarg de l'ona (la condició de Chapman-Jouguet per a la detonació és on la línia de Rayleigh és tangent a la corba d'Hugoniot). Les deflagracions, en canvi, corresponen a la regió blanca inferior dreta on i , és a dir, la pressió disminueix i el volum específic augmenta al llarg de l'ona; la disminució de pressió d'una flama sol ser molt petita, cosa que poques vegades es té en compte quan s'estudien les deflagracions.
Per a les ones de xoc i les detonacions, l'augment de pressió a través de l'ona pot prendre qualsevol valor entre ; com més pronunciat sigui el pendent de la línia de Rayleigh, més forta serà l'ona. Al contrari, aquí la relació volumètrica específica està restringida a l'interval finit (el límit superior es deriva per al cas perquè la pressió no pot prendre valors negatius). Si (gas diatòmic sense l'excitació del mode vibracional), l'interval és , en altres paraules, l'ona de xoc pot augmentar la densitat com a màxim per un factor de 6. Per al gas monoatòmic, , l'interval permès és Per a gasos diatòmics amb mode vibracional excitat, tenim que condueix a l'interval En realitat, la relació de calor específica no és constant en l'ona de xoc a causa de la dissociació i la ionització moleculars, però fins i tot en aquests casos, la relació de densitat en general no supera un factor d'aproximadament .Zel’Dovich, Y. B., & Raizer, Y. P. (2012). Physics of shock waves and high-temperature hydrodynamic phenomena. Courier Corporation.
Derivació de les equacions d'Euler Considerem un gas en un recipient unidimensional (per exemple, un tub llarg i prim). Suposem que el fluid no és viscós (és a dir, que no mostra efectes de viscositat com ara la fricció amb les parets del tub). A més, suposem que no hi ha transferència de calor per conducció o radiació i que l'acceleració gravitatòria es pot negligir. Un sistema d'aquest tipus es pot descriure mitjançant el següent sistema de lleis de conservació, conegudes com les equacions d'Euler unidimensionals, que en forma de conservació són:Suposem a més que el gas és calòricament ideal i que, per tant, una equació d'estat politròpica de la forma simpleés vàlid, on és la relació constant de calors específiques Aquesta quantitat també apareix com l' exponent politròpic del procés politròpic descrit perPer obtenir una llista extensa d'equacions de flux compressible, etc., consulteu l'informe 1135 (1953) de la NACA.
Nota: Per a un gas calòricament ideal és una constant i per a un gas tèrmicament ideal és una funció de la temperatura. En aquest darrer cas, la dependència de la pressió respecte a la densitat de massa i l'energia interna podria ser diferent de la que dóna l'equació ().
La condició de salt Abans de continuar, cal introduir el concepte de condició de salt: una condició que es manté en una discontinuïtat o un canvi brusc.
Considerem una situació unidimensional on hi ha un salt en la quantitat física conservada escalar , que es regeix per la llei de conservació integral
(6)
per a qualsevol , , , i, per tant, per equació diferencial parcialper a solucions suaus.Note that the integral conservation law () could not, in general, be obtained from differential equation () by integration over because () holds for smooth solutions only.
Deixeu que la solució mostri un salt (o xoc) a , on i , aleshores
Els subíndexs 1 i 2 indiquen les condicions just aigües amunt i just aigües avall del salt respectivament, és a dir, i és el signe, per tant.
Cal tenir en compte que, per arribar a l'equació (), hem utilitzat el fet que i .
Ara, deixem i , quan tenim i , i en el límiton hem definit (la característica del sistema o velocitat de xoc ), que per simple divisió ve donada perL'equació () representa la condició de salt per a la llei de conservació (). Una situació de xoc sorgeix en un sistema on les seves característiques s'intersequen i, en aquestes condicions, un requisit per a una solució única amb un sol valor és que la solució satisfaci la condició d'admissibilitat o la condició d'entropia. Per a aplicacions físicament reals, això significa que la solució ha de satisfer la condició d'entropia Lax.on i representen velocitats característiques en condicions d'aigües amunt i d'aigües avall, respectivament.
Condició de xoc