El tensor de tensió viscosa és un tensor utilitzat en mecànica del continu per modelar la part de la tensió en un punt dins d'un material que es pot atribuir a la velocitat de deformació, la velocitat a la qual es deforma al voltant d'aquest punt.
El tensor de tensió viscosa és formalment similar al tensor de tensió elàstica (tensor de Cauchy) que descriu les forces internes en un material elàstic a causa de la seva deformació. Ambdós tensors assignen el vector normal d'un element superficial a la densitat i direcció de la tensió que actua sobre aquest element superficial. Tanmateix, la tensió elàstica es deu a la quantitat de deformació (tensió), mentre que la tensió viscosa es deu a la taxa de canvi de la deformació al llarg del temps (taxa de deformació). En els materials viscoelàstics, el comportament dels quals és intermedi entre el dels líquids i els sòlids, el tensor de tensió total comprèn components viscosos i elàstics ("estàtics"). Per a un material completament fluid, el terme elàstic es redueix a la pressió hidroestàtica.
En un sistema de coordenades arbitrari, la tensió viscosa ε i la velocitat de deformació E en un punt i temps específics es poden representar mitjançant matrius de 3 × 3 de nombres reals. En moltes situacions hi ha una relació aproximadament lineal entre aquestes matrius; és a dir, un tensor de viscositat μ de quart ordre tal que ε = μE. El tensor μ té quatre índexs i consta de 3 × 3 × 3 × 3 nombres reals (dels quals només 21 són independents). En un fluid newtonià, per definició, la relació entre ε i E és perfectament lineal, i el tensor de viscositat μ és independent de l'estat de moviment o tensió del fluid. Si el fluid és isotròpic i newtonià, el tensor de viscositat μ només tindrà tres paràmetres reals independents: un coeficient de viscositat a granel, que defineix la resistència del medi a la compressió uniforme gradual; un coeficient de viscositat dinàmic que expressa la seva resistència al cisallament gradual, i un coeficient de viscositat rotacional que resulta d'un acoblament entre el flux de fluid i la rotació de les partícules individuals.:304 En absència d'aquest acoblament, el tensor de tensió viscosa només tindrà dos paràmetres independents i serà simètric. En fluids no newtonians, en canvi, la relació entre ε i E pot ser extremadament no lineal, i ε pot fins i tot dependre d'altres característiques del flux a més d'E.
Definició Tensió viscosa versus elàstica Les tensions mecàniques internes en un medi continu generalment estan relacionades amb la deformació del material des d'un estat "relaxat" (no tensat). Aquestes tensions generalment inclouen un component de tensió elàstic ("estàtic"), que està relacionat amb la quantitat actual de deformació i actua per restaurar el material al seu estat de repòs; i un component de tensió viscós, que depèn de la velocitat a la qual la deformació canvia amb el temps i s'oposa a aquest canvi.
El tensor de tensió viscosa Igual que les tensions totals i elàstiques, la tensió viscosa al voltant d'un cert punt del material, en qualsevol moment, es pot modelar mitjançant un tensor de tensió, una aplicació lineal entre el vector de direcció normal d'un pla ideal que passa pel punt i la densitat de tensió local en aquest pla en aquest punt.
En qualsevol sistema de coordenades escollit amb els eixos numerats 1, 2, 3, aquest tensor de tensió viscosa es pot representar com una matriu 3x3 de nombres reals:
Tingueu en compte que aquests números solen canviar amb el punt
i el temps .
Considereu una integral de superfície plana infinitesimal centrat en el punt , representat per un vector la longitud del qual és l'àrea de l'element i la direcció del qual és perpendicular a aquest. Sigui la força infinitesimal deguda a la tensió viscosa que s'aplica a través d'aquest element de superfície al material del costat oposat a . Les components de al llarg de cada eix de coordenades es donen llavors per
En qualsevol material, el tensor de tensió total és la suma d'aquest tensor de tensió viscosa , el tensor de tensió elàstica i la pressió hidroestàtica . En un material perfectament fluid, que per definició no pot tenir tensió de cisallament estàtica, el tensor de tensió elàstica és zero:
on δij és el tensor unitari, de manera que δij és 1 si i = j i 0 si i ≠ j.
Mentre que les tensions viscoses són generades per fenòmens físics que depenen fortament de la naturalesa del medi, el tensor de tensions viscoses només és una descripció de les forces momentànies locals entre parcel·les adjacents del material, i no és una propietat del material.
Simetria Si ignorem el parell de torsió sobre un element a causa del flux (parell de torsió "extrínsec"), el parell de torsió viscós "intrínsec" per unitat de volum sobre un element fluid s'escriu (com a tensor antisimètric) com a
i representa la taxa de canvi de la densitat del moment angular intrínsec amb el temps. Si les partícules tenen graus de llibertat rotacionals, això implicarà un moment angular intrínsec i si aquest moment angular es pot canviar per col·lisions, és possible que aquest moment angular intrínsec pugui canviar amb el temps, donant lloc a un parell de forces intrínsec que no és zero, cosa que implicarà que el tensor de tensió viscosa tindrà un component antisimètric amb un coeficient de viscositat rotacional corresponent. Si les partícules de fluid tenen un moment angular insignificant o si el seu moment angular no està apreciablement acoblat al moment angular extern, o si el temps d'equilibri entre els graus de llibertat extern i intern és pràcticament zero, el parell de forces serà zero i el tensor de tensió viscosa serà simètric. Les forces externes poden donar lloc a un component asimètric del tensor de tensió (per exemple, fluids ferromagnètics que poden patir parell de forces per camps magnètics externs).
Causes físiques de l'estrès viscós En un material sòlid, el component elàstic de la tensió es pot atribuir a la deformació dels enllaços entre els àtoms i les molècules del material, i pot incloure tensions de cisallament. En un fluid, la tensió elàstica es pot atribuir a l'augment o la disminució de l'espaiat mitjà de les partícules, que afecta la seva taxa de col·lisió o interacció i, per tant, la transferència de moment a través del fluid; per tant, està relacionada amb el component tèrmic aleatori microscòpic del moviment de les partícules i es manifesta com una tensió de pressió hidroestàtica isotròpica.
El component viscós de la tensió, en canvi, sorgeix de la velocitat mitjana macroscòpica de les partícules. Es pot atribuir a la fricció o a la difusió de partícules entre parcel·les adjacents del medi que tenen diferents velocitats mitjanes.
L'equació de viscositat El tensor de la velocitat de deformació En un flux suau, la velocitat a la qual la deformació local del medi canvia al llarg del temps (la velocitat de deformació) es pot aproximar mitjançant un tensor de velocitat de deformació , que normalment és una funció del punt i del temps . Respecte a qualsevol sistema de coordenades, es pot expressar mitjançant una matriu 3x3.
El tensor de velocitat de deformació es pot definir com la derivada del tensor de deformació respecte al temps, o, equivalentment, com la part simètrica del gradient (derivada respecte a l'espai) del vector de velocitat del flux :
on ∇v denota el gradient de velocitat. En coordenades cartesianes, ∇v és la matriu jacobiana,
i per tant
De qualsevol manera, el tensor de velocitat de deformació E(p, t) expressa la velocitat a la qual canvia la velocitat mitjana en el medi a mesura que hom s'allunya del punt p, excepte els canvis deguts a la rotació del medi al voltant de p com a cos rígid, que no canvien les distàncies relatives de les partícules i només contribueixen a la part rotacional de la tensió viscosa a través de la rotació de les partícules individuals. (Aquests canvis comprenen la vorticitat del flux, que és el rínxol (rotacional) ∇ × v de la velocitat; que també és la part antisimètrica del gradient de velocitat ∇v.)
Fluxos generals El tensor de tensió viscosa és només una aproximació lineal de les tensions al voltant d'un punt , i no té en compte els termes d'ordre superior de la seva sèrie de Taylor. Tanmateix, en gairebé totes les situacions pràctiques, aquests termes es poden ignorar, ja que esdevenen insignificants a les escales de mida on es genera la tensió viscosa i afecta el moviment del medi. El mateix es pot dir del tensor de taxa de deformació com a representació del patró de velocitat al voltant de .
Així, els models lineals representats pels tensors i són gairebé sempre suficients per descriure la tensió viscosa i la velocitat de deformació al voltant d'un punt, amb la finalitat de modelar-ne la dinàmica. En particular, la velocitat de deformació local és l'única propietat del flux de velocitat que afecta directament la tensió viscosa en un punt donat.
D'altra banda, la relació entre i pot ser força complicada i depèn en gran manera de la composició, l'estat físic i l'estructura microscòpica del material. Sovint també és molt no lineal i pot dependre de les deformacions i tensions experimentades anteriorment pel material que ara es troba al voltant del punt en qüestió.
Mitjans newtonians generals Es diu que un medi és newtonià si la tensió viscosa és una funció lineal de la velocitat de deformació , i aquesta funció no depèn de les tensions i el moviment del fluid al voltant de . Cap fluid real és perfectament newtonià, però es pot assumir que molts fluids importants, inclosos els gasos i l'aigua, ho són, sempre que les tensions de flux i les velocitats de deformació no siguin massa altes.
En general, una relació lineal entre dos tensors de segon ordre és un tensor de quart ordre. En un medi newtonià, concretament, la tensió viscosa i la velocitat de deformació estan relacionades pel tensor de viscositat :
El coeficient de viscositat és una propietat d'un material newtonià que, per definició, no depèn en cap altre cas de o .
El tensor de velocitat de deformació és simètric per definició, de manera que només té sis elements linealment independents. Per tant, el tensor de viscositat només té 6 × 9 = 54 graus de llibertat en lloc de 81. En la majoria de fluids, el tensor de tensió viscosa també és simètric, cosa que redueix encara més el nombre de paràmetres de viscositat a 6×6 = 36.
Tensió viscosa i de cisallament En absència d'efectes de rotació, el tensor de tensió viscosa serà simètric. Com amb qualsevol tensor simètric, el tensor de tensió viscosa es pot expressar com la suma d'un tensor simètric sense traça i un múltiple del tensor identitat. En forma de coordenades,
Aquesta descomposició és independent del sistema de coordenades i, per tant, és físicament significativa. La part ε εv del tensor de tensió viscosa es manifesta com una mena de pressió, o tensió global, que actua de manera igual i perpendicular sobre qualsevol superfície independentment de la seva orientació. A diferència de la pressió hidroestàtica ordinària, pot aparèixer només mentre la deformació canvia, actuant per oposar-se al canvi; i pot ser negativa.
El cas newtonià isotròpic En un medi newtonià isotròpic (és a dir, les propietats del qual són les mateixes en totes direccions), cada part del tensor de tensió està relacionada amb una part corresponent del tensor de velocitat de deformació.
on i són les parts isotròpiques escalars i les parts de traça zero del tensor de velocitat de deformació , i i són dos nombres reals. Per tant, en aquest cas el tensor de viscositat només té dos paràmetres independents.