En probabilitat i estadística, una funció de veí més proper, distribució de distància del veí més proper,A. Baddeley, I. Bárány, and R. Schneider. Spatial point processes and their applications. Stochastic Geometry: Lectures given at the CIME Summer School held in Martina Franca, Italy, September 13–18, 2004, pages 1–75, 2007. funció de distribució del veí més proper o distribució del veí més proper és una funció matemàtica que es defineix en relació amb objectes matemàtics coneguts com a processos puntuals, que sovint s'utilitzen com a models matemàtics de fenòmens físics representables com a punts posicionats aleatòriament en el temps, l'espai o tots dos.D. Stoyan, W. S. Kendall, J. Mecke, and L. Ruschendorf. Stochastic geometry and its applications, volume 2. Wiley Chichester, 1995.D. J. Daley and D. Vere-Jones. An introduction to the theory of point processes. Vol. I. Probability and its Applications (New York). Springer, New York, second edition, 2003. Més concretament, les funcions de veí més proper es defineixen respecte a algun punt del procés puntual com la distribució de probabilitat de la distància des d'aquest punt fins al seu punt veí més proper en el mateix procés puntual, per tant, s'utilitzen per descriure la probabilitat que un altre punt existeixi a una certa distància d'un punt. Una funció de veí més proper es pot contrastar amb una funció de distribució de contacte esfèric, que no es defineix en referència a algun punt inicial, sinó com la distribució de probabilitat del radi d'una esfera quan es troba o fa contacte amb un punt d'un procés puntual.
La funció de veí més proper s'utilitza en l'estudi de processos puntuals,A. Baddeley, I. Bárány, and R. Schneider. Spatial point processes and their applications. Stochastic Geometry: Lectures given at the CIME Summer School held in Martina Franca, Italy, September 13–18, 2004, pages 1–75, 2007.D. J. Daley and D. Vere-Jones. An introduction to the theory of point processes. Vol. I. Probability and its Applications (New York). Springer, New York, second edition, 2003.D. J. Daley and D. Vere-Jones. An introduction to the theory of point processes. Vol. {II}. Probability and its Applications (New York). Springer, New York, second edition, 2008. així com en els camps relacionats de la geometria estocàsticaD. Stoyan, W. S. Kendall, J. Mecke, and L. Ruschendorf. Stochastic geometry and its applications, volume 2. Wiley Chichester, 1995. i l'estadística espacial,J. Moller and R. P. Waagepetersen. Statistical inference and simulation for spatial point processes. CRC Press, 2003. que s'apliquen en diverses disciplines científiques i d'enginyeria com ara la biologia, la geologia, la física i les telecomunicacions.F. Baccelli and B. Błaszczyszyn. Stochastic Geometry and Wireless Networks, Volume I – Theory, volume 3, No 3-4 of Foundations and Trends in Networking. NoW Publishers, 2009.F. Baccelli and B. Błaszczyszyn. Stochastic Geometry and Wireless Networks, Volume II – Applications, volume 4, No 1-2 of Foundations and Trends in Networking. NoW Publishers, 2009.
Notació de processos puntuals Els processos puntuals són objectes matemàtics que es defineixen en algun espai matemàtic subjacent. Com que aquests processos s'utilitzen sovint per representar col·leccions de punts dispersos aleatòriament en l'espai, el temps o ambdós, l'espai subjacent sol ser un espai euclidià d-dimensional, denotat aquí per , però es poden definir en espais matemàtics més abstractes.D. J. Daley and D. Vere-Jones. An introduction to the theory of point processes. Vol. {II}. Probability and its Applications (New York). Springer, New York, second edition, 2008.
Els processos puntuals tenen diverses interpretacions, la qual cosa es reflecteix en els diversos tipus de notació de processos puntuals.D. Stoyan, W. S. Kendall, J. Mecke, and L. Ruschendorf. Stochastic geometry and its applications, volume 2. Wiley Chichester, 1995.F. Baccelli and B. Błaszczyszyn. Stochastic Geometry and Wireless Networks, Volume II – Applications, volume 4, No 1-2 of Foundations and Trends in Networking. NoW Publishers, 2009. Per exemple, si un punt pertany o és membre d'un procés puntual, denotat per , aleshores això es pot escriure com:
i representa el procés puntual que s'interpreta com un conjunt aleatori. Alternativament, el nombre de punts de situat en algun conjunt de Borel sovint s'escriu com:F. Baccelli and B. Błaszczyszyn. Stochastic Geometry and Wireless Networks, Volume I – Theory, volume 3, No 3-4 of Foundations and Trends in Networking. NoW Publishers, 2009.D. Stoyan, W. S. Kendall, J. Mecke, and L. Ruschendorf. Stochastic geometry and its applications, volume 2. Wiley Chichester, 1995.J. Moller and R. P. Waagepetersen. Statistical inference and simulation for spatial point processes. CRC Press, 2003.
que reflecteix una interpretació de mesures aleatòries per a processos puntuals. Aquestes dues notacions sovint s'utilitzen en paral·lel o indistintament.D. Stoyan, W. S. Kendall, J. Mecke, and L. Ruschendorf. Stochastic geometry and its applications, volume 2. Wiley Chichester, 1995.J. Moller and R. P. Waagepetersen. Statistical inference and simulation for spatial point processes. CRC Press, 2003.F. Baccelli and B. Błaszczyszyn. Stochastic Geometry and Wireless Networks, Volume I – Theory, volume 3, No 3-4 of Foundations and Trends in Networking. NoW Publishers, 2009.
Definicions Funció del veí més proper La funció de veí més proper, a diferència de la funció de distribució de contacte esfèric, es defineix en relació amb algun punt d'un procés puntual que ja existeix en alguna regió de l'espai. Més precisament, per a algun punt del procés puntual , la funció del veí més proper és la distribució de probabilitat de la distància des d'aquest punt fins al punt veí més proper o més proper.
Per definir aquesta funció per a un punt situat a a, per exemple, l'origen , el pilota dimensional de radi es considera centrat a l'origen o. Donat un punt de existent a , aleshores la funció del veí més proper es defineix com:D. Stoyan, W. S. Kendall, J. Mecke, and L. Ruschendorf. Stochastic geometry and its applications, volume 2. Wiley Chichester, 1995.
on denota la probabilitat condicional que hi hagi un punt de situat a donat que hi ha un punt de situat a .
El punt de referència no ha de ser a l'origen i es pot ubicar en un punt arbitrari Donat un punt de existent a , aleshores la funció del veí més proper es defineix com:
Exemples Les expressions matemàtiques de la distribució del veí més proper només existeixen per a uns quants processos puntuals.
Procés del punt de Poisson Per a un procés puntual de Poisson en amb mesura del moment La funció del veí més proper és:
que per al cas homogeni esdevé
on denota el volum (o més concretament, la mesura de Lebesgue) de la (hiper)bola de radi A l'avió amb el punt de referència situat a l'origen, això esdevé
Relació amb altres funcions Funció de distribució de contacte esfèric En general, la funció de distribució de contacte esfèric i la funció del veí més proper corresponent no són iguals. Tanmateix, aquestes dues funcions són idèntiques per als processos puntuals de Poisson.D. Stoyan, W. S. Kendall, J. Mecke, and L. Ruschendorf. Stochastic geometry and its applications, volume 2. Wiley Chichester, 1995. De fet, aquesta característica es deu a una propietat única dels processos de Poisson i les seves distribucions de Palm, que forma part del resultat conegut com a teorema de Slivnyak-MeckeF. Baccelli and B. Błaszczyszyn. Stochastic Geometry and Wireless Networks, Volume I – Theory, volume 3, No 3-4 of Foundations and Trends in Networking. NoW Publishers, 2009. o teorema de Slivnyak.A. Baddeley, I. Bárány, and R. Schneider. Spatial point processes and their applications. Stochastic Geometry: Lectures given at the CIME Summer School held in Martina Franca, Italy, September 13–18, 2004, pages 1–75, 2007.
Funció J El fet que la funció de distribució esfèrica Hs(r) i la funció del veí més proper Do(r) siguin idèntiques per al procés de punts de Poisson es pot utilitzar per comprovar estadísticament si les dades del procés de punts semblen ser les d'un procés de punts de Poisson. Per exemple, en estadística espacial, la funció es defineix per a tot ≥ 0 com a:D. Stoyan, W. S. Kendall, J. Mecke, and L. Ruschendorf. Stochastic geometry and its applications, volume 2. Wiley Chichester, 1995.
Per a un procés puntual de Poisson, la funció és simplement = 1, per això s'utilitza com a prova no paramètrica per saber si les dades es comporten com si fossin d'un procés de Poisson. Tanmateix, es creu que és possible construir processos puntuals no de Poisson per als quals = 1, però alguns consideren aquests contraexemples com a una mica "artificials" i existeixen per a altres proves estadístiques.
Més generalment, la funció serveix com una manera (altres inclouen l'ús de mesures de moment factorial)A. Baddeley, I. Bárány, and R. Schneider. Spatial point processes and their applications. Stochastic Geometry: Lectures given at the CIME Summer School held in Martina Franca, Italy, September 13–18, 2004, pages 1–75, 2007. de mesurar la interacció entre punts en un procés puntual.D. Stoyan, W. S. Kendall, J. Mecke, and L. Ruschendorf. Stochastic geometry and its applications, volume 2. Wiley Chichester, 1995.
Referències
Categoria:Probabilitat Categoria:Estadística