En teoria de la probabilitat, el moment factorial és una quantitat matemàtica definida com l'esperança o la mitjana del factorial decreixent d'una variable aleatòria. Els moments factorials són útils per estudiar variables aleatòries amb valor enter no negatiu,D. J. Daley and D. Vere-Jones. An introduction to the theory of point processes. Vol. I. Probability and its Applications (New York). Springer, New York, second edition, 2003 i sorgeixen en l'ús de funcions generadores de probabilitats per derivar els moments de variables aleatòries discretes.

Els moments factorials serveixen com a eines analítiques en el camp matemàtic de la combinatòria, que és l'estudi de les estructures matemàtiques discretes.

Definició Per a un nombre natural , el moment factorial -èsim d'una distribució de probabilitat sobre els nombres reals o complexos, o, en altres paraules, una variable aleatòria amb aquesta distribució de probabilitat, és

on és l'esperança (operador) i

és el factorial decreixent, que dóna lloc al nom, tot i que la notació varia segons el camp matemàtic. Per descomptat, la definició requereix que l'expectativa tingui sentit, cosa que passa si o .

Si és el nombre d'èxits en proves, i és la probabilitat que qualsevol de les proves siguin totes èxits, aleshoresP.V.Krishna Iyer. "A Theorem on Factorial Moments and its Applications". Annals of Mathematical Statistics Vol. 29 (1958). Pages 254-261.

Exemples Distribució de Poisson Si una variable aleatòria té una distribució de Poisson amb paràmetre λ, aleshores els moments factorials de són

que són simples en forma en comparació amb els seus moments, que impliquen nombres de Stirling de segona espècie.

Distribució binomial Si una variable aleatòria té una distribució binomial amb probabilitat d'èxit [ 0,1 ] i nombre d'assajos , aleshores els moments factorials de són

on, per convenció, i s'entenen com a zero si r > n.

Distribució hipergeomètrica Si una variable aleatòria té una distribució hipergeomètrica amb una mida de població , nombre d'estats d'èxit } a la població, i dibuixa }, aleshores els moments factorials de són

Càlcul de moments El moment brut r -èssim d'una variable aleatòria X es pot expressar en termes dels seus moments factorials mitjançant la fórmula

on les claus denoten nombres de Stirling de segona espècie.

Referències

Categoria:Probabilitat