miniatura|Un diagrama de Feynman que mostra la radiació d'un gluó quan s'anihilen un electró i un positró. En la teoria quàntica de camps, les funcions de partició són funcionals generadors per a funcions de correlació, cosa que les converteix en objectes clau d'estudi en el formalisme integral de camí. Són les versions temporals imaginàries de les funcions de partició de la mecànica estadística, donant lloc a una estreta connexió entre aquestes dues àrees de la física. Les funcions de partició rarament es poden resoldre amb exactitud, tot i que les teories lliures admeten aquestes solucions. En comptes d'això, normalment s'implementa un enfocament pertorbatiu, que és equivalent a sumar sobre diagrames de Feynman.
Generació funcional Teories escalars En un teoria de camps dimensional amb un camp escalar real i acció , la funció de partició es defineix en el formalisme de la integral de camí com el funcional
on és una font actual fictícia. Actua com a funcional generadora per a funcions de correlació arbitràries de n punts
Les derivades utilitzades aquí són derivades funcionals en lloc de derivades regulars, ja que actuen sobre funcionals en lloc de funcions regulars. D'això es dedueix que una expressió equivalent per a la funció de partició que recorda una sèrie de potències en corrents de font ve donada per
En els espai-temps corbats hi ha una subtilesa afegida que cal tenir en compte a causa del fet que l' estat de buit inicial no ha de ser el mateix que l'estat de buit final. Les funcions de partició també es poden construir per a operadors compostos de la mateixa manera que ho fan per a camps fonamentals. Les funcions de correlació d'aquests operadors es poden calcular com a derivades funcionals d'aquests funcionals. Per exemple, la funció de partició per a un operador compost ve donat per
Conèixer la funció de partició resol completament la teoria, ja que permet el càlcul directe de totes les seves funcions de correlació. No obstant això, hi ha molt pocs casos en què la funció de partició es pot calcular amb exactitud. Mentre que les teories lliures admeten solucions exactes, les teories que interactuen generalment no. En comptes d'això, la funció de partició es pot avaluar pertorbativament amb un acoblament feble, cosa que equival a una teoria de pertorbacions regular utilitzant diagrames de Feynman amb insercions a les potes externes. Els factors de simetria per a aquests tipus de diagrames difereixen dels de les funcions de correlació, ja que totes les potes externes tenen eixos idèntics. insercions que es poden intercanviar, mentre que les potes externes de les funcions de correlació estan totes fixes en coordenades específiques i, per tant, són fixes.
Mitjançant una transformació de Wick, la funció de partició es pot expressar en l'espai-temps euclidià com a
on és l'acció euclidiana i són coordenades euclidianes. Aquesta forma està estretament relacionada amb la funció de partició en mecànica estadística, especialment perquè el lagrangià euclidià sol estar limitat des de baix, en aquest cas es pot interpretar com una densitat d'energia. També permet la interpretació del factor exponencial com un pes estadístic per a les configuracions del camp, amb fluctuacions més grans en el gradient o en els valors del camp que condueixen a una major supressió. Aquesta connexió amb la mecànica estadística també proporciona una intuïció addicional sobre com s'han de comportar les funcions de correlació en una teoria quàntica de camps.
Teories generals La majoria dels mateixos principis del cas escalar es compleixen per a teories més generals amb camps addicionals. Cada camp requereix la introducció del seu propi corrent fictici, mentre que els camps d'antipartícules requereixen els seus propis corrents separats. Actuar sobre la funció de partició amb una derivada d'un corrent redueix el seu camp associat de l'exponencial, permetent la construcció de funcions de correlació arbitràries. Després de la diferenciació, els corrents s'estableixen a zero quan es desitgen funcions de correlació en un estat de buit, però també es poden establir els corrents per prendre valors particulars per obtenir funcions de correlació en camps de fons no nuls.
Per a funcions de partició amb camps de fermions amb valors de Grassmann, les fonts també tenen valors de Grassmann. Per exemple, una teoria amb un únic fermió de Dirac requereix la introducció de dos corrents de Grassmann i de manera que la funció de partició és
Derivades funcionals respecte a donen camps de fermions mentre que les derivades respecte a donen camps antifermònics a les funcions de correlació.
Teories de camp tèrmic Una teoria de camp tèrmic a temperatura és equivalent en el formalisme euclidià a una teoria amb una direcció temporal compactada de longitud . Les funcions de partició s'han de modificar adequadament imposant condicions de periodicitat als camps i a les integrals d'espai-temps euclidianes.
Aquesta funció de partició es pot prendre com la definició de la teoria del camp tèrmic en el formalisme del temps imaginari. Les funcions de correlació s'adquireixen a partir de la funció de partició mitjançant les derivades funcionals habituals respecte als corrents
Teories lliures La funció de partició es pot resoldre exactament en teories lliures completant el quadrat en termes dels camps. Com que un desplaçament per una constant no afecta la mesura de la integral de camí, això permet separar la funció de partició en una constant de proporcionalitat. derivat de la integral de camí, i un segon terme que només depèn del corrent. Per a la teoria escalar, això dóna com a resultat
on és el propagador de Feynman a l'espai de posicions
Aquesta funció de partició determina completament la teoria del camp lliure.
En el cas d'una teoria amb un únic fermió de Dirac lliure, completar el quadrat produeix una funció de partició de la forma
on és el propagador de Dirac a l'espai de posicions
Referències
Categoria:Mecànica quàntica