Ireducibilní reprezentace grupy je taková reprezentace, která nemá netriviální invariantní podprostory. Ireducibilní reprezentace a jejich dimenze mají mnohem větší vypovídací hodnotu o struktuře grupy než obecné reprezentace, protože množinu ireducibilních reprezentací nelze libovolně rozšiřovat.
Definice Nechť je dvojice reprezentací grupy , kde je vektorový prostor a je homomorfizmus z grupy do prostoru lineárních operátorů (matic) působících na .
Reprezentace se nazývá ireducibilní, právě když neexistuje žádný netriviální invariantní podprostor (triviální podprostory jsou nulový prostor a ). Existence takového podprostoru by umožňovala definovat samostatnou podreprezentaci . Reprezentace, které nejsou ireducibilní, se nazývají reducibilní.
Vlastnosti Celkový počet ireducibilních reprezentací grupy je stejný jako počet tříd sdružených prvků . Toho se využívá při studiu grup pomocí tabulek charakterů.
Každá grupa konečného řádu (nebo kompaktní Lieova grupa) má pouze konečněrozměrné ireducibilní reprezentace. Existuje však ještě mnohem silnější tvrzení — lze dokázat, že řád grupy je roven součtu čtverců dimenzí všech jejích ireducibilních reprezentací, tedy
S tím souvisí také speciální případ pro abelovy grupy, jejichž ireducibilní reprezentace jsou vždy pouze jednorozměrné.
Schurovo lema Důležitým nástrojem pro určování ireducibility je Schurovo lema:
Mějme matici , která komutuje se všemi maticemi dané reprezentace grupy. Reprezentace je ireducibilní, právě když každá taková matice je násobkem jednotkové matice,
Odkazy
Reference
Literatura
Související články Diracova rovnice Reprezentace (grupa)
Kategorie:Teorie grup