Skalární křivost (též Ricciho skalár) je v riemannovské geometrii nejjednodušší invariant zakřivení vícerozměrného prostoru (variety). Každému bodu variety přiřazuje jediné reálné číslo, které charakterizuje lokální geometrii v daném bodě.
V obecné relativitě je skalární křivost klíčovou veličinou, neboť figuruje v Einsteinových rovnicích jako součást popisu zakřivení prostoročasu.
Definice Skalární křivost, obvykle značná písmenem , je definována jako úplné zúžení Ricciho tenzoru pomocí metrického tenzoru :
Ricciho tenzor je sám o sobě zúžením Riemannova tenzoru křivosti:
Skalární křivost tedy představuje "dvojité zúžení" Riemannova tenzoru, čímž se z původního tenzoru čtvrtého řádu stane skalár (číslo nezávislé na volbě souřadnicové soustavy).
Geometrický význam Geometricky lze skalární křivost interpretovat jako míru toho, jak se objem malé koule v zakřiveném prostoru liší od objemu koule o stejném poloměru v plochém Eukleidovském prostoru.
Pro malý poloměr je poměr objemu koule v zakřiveném prostoru k objemu v Eukleidovském prostoru dán vztahem:
kde je dimenze prostoru. Z tohoto vztahu vyplývá, že pokud je , objem koule je menší než v plochém prostoru (např. na povrchu sféry), zatímco pro je objem větší než v plochém prostoru (např. v hyperbolickém prostoru). V případě je prostor v daném bodě z hlediska objemu lokálně plochý.
Význam v obecné relativitě V Einsteinově obecné relativitě je skalární křivost ústředním pojmem v Einsteinově–Hilbertově akci, ze které lze pomocí variačního principu odvodit Einsteinovy rovnice:
Zde představuje Ricciho skalár prostoročasu, je determinant metrického tenzoru a je gravitační konstanta.
Odkazy Literatura
Související články Ricciho tenzor Riemannův tenzor Metrický tenzor Gaussova křivost
Kategorie:Diferenciální geometrie Kategorie:Riemannova geometrie Kategorie:Obecná teorie relativity