vpravo|náhled|V topologickém prostoru je množina V okolím bodu p a obsahuje souvislou otevřenou množinu (tmavě zelený disk) obsahující bod p.
Lokálně souvislý prostor je v topologii a dalších odvětvích matematiky topologický prostor, ve kterém má každý bod okolí tvořené souvislými otevřenými množinami.
Lokální souvislost je topologická vlastnost popisující chování prostoru v libovolně malém okolí jeho bodů. Intuitivně znamená, že každý bod prostoru má dostatečně malá okolí, která tvoří jeden souvislý celek. Tato vlastnost hraje významnou roli zejména v obecné topologii, teorii variet a algebraické topologii.
Definice Topologický prostor se nazývá lokálně souvislý, jestliže každý bod má bázi okolí tvořenou souvislými otevřenými množinami.
Jinými slovy, pro každý bod a každé jeho okolí existuje souvislá otevřená množina taková, že
Každý bod lokálně souvislého prostoru tedy disponuje libovolně malými souvislými okolími.
Vlastnosti Lokálně souvislé prostory mají řadu vlastností, které zjednodušují studium jejich topologické struktury.
Otevřená podmnožina lokálně souvislého prostoru je opět lokálně souvislá.
Souvislé komponenty lokálně souvislého prostoru jsou otevřené množiny.
Souvislé komponenty každé otevřené množiny v lokálně souvislém prostoru jsou otevřené.
Každý lokálně eukleidovský prostor je lokálně souvislý. Zejména každá topologická varieta je lokálně souvislým prostorem.
Součin konečného počtu lokálně souvislých prostorů je lokálně souvislý.
Lokální souvislost je nezávislá na globální souvislosti prostoru. Existují lokálně souvislé prostory, které nejsou souvislé globálně. Naopak souvislé prostory nemusí být lokálně souvislé
Příklady
Lokálně souvislé prostory Mezi lokálně souvislé prostory patří například:
eukleidovský prostor , otevřené podmnožiny eukleidovských prostorů, topologické variety, souvislé i nesouvislé sjednocení otevřených intervalů na reálné přímce.
V těchto prostorech má každý bod libovolně malá okolí, která jsou souvislá.
Prostory, které nejsou lokálně souvislé Známým příkladem prostoru, který je souvislý, ale není lokálně souvislý, je topologická sinusová křivka.
Topologická sinusová křivka je podmnožina roviny tvořená grafem funkce
pro spolu s úsečkou
Přestože je tento prostor souvislý, v bodech uvedené úsečky neexistují dostatečně malá souvislá otevřená okolí, a prostor proto není lokálně souvislý.
Vztah k souvislosti Lokální souvislost a souvislost jsou odlišné topologické vlastnosti.
Lokální souvislost popisuje chování prostoru v libovolně malých okolích jeho bodů, zatímco souvislost je globální vlastnost vyjadřující, že prostor nelze rozložit na dvě neprázdné disjunktní otevřené množiny.
Ani jedna z těchto vlastností neimplikuje druhou:
Lokálně souvislý prostor nemusí být souvislý. Například sjednocení dvou disjunktních otevřených intervalů na reálné přímce je lokálně souvislé, ale není souvislé.
Souvislý prostor nemusí být lokálně souvislý. Klasickým příkladem je Topologická sinusová křivka, která je souvislá, avšak není lokálně souvislá.
Pokud je prostor lokálně souvislý, pak jsou jeho souvislé komponenty otevřené množiny. Tato vlastnost výrazně zjednodušuje studium topologické struktury prostoru.
Vztah k varietám Lokální souvislost je důležitou vlastností topologických variet. Každá topologická varieta je totiž podle definice lokálně eukleidovským prostorem, tj. každý její bod má okolí homeomorfní otevřené podmnožině prostoru .
Protože eukleidovské prostory i jejich otevřené podmnožiny jsou lokálně souvislé, je lokálně souvislá také každá topologická varieta.
Lokální souvislost patří mezi základní vlastnosti variet a využívá se v řadě oblastí geometrie a topologie. Zejména hraje významnou roli při studiu tečných svazků, kotečných svazků, vektorových svazků a dalších geometrických struktur definovaných na varietách.
Odkazy
Reference
Související pojmy Topologický prostor Báze topologického prostoru Okolí (matematika) Souvislost (topologie) Komponenta souvislosti Eukleidovský prostor Varieta (matematika) Součinová topologie
Kategorie:Topologie