En álxebra abstracta, un rng (ou anel non unitario ou pseudoanel) é unha estrutura alxébrica que satisfai as mesmas propiedades que un anel, mais sen asumir a existencia dunha identidade multiplicativa. O termo rng é para suxerir que é un anel sen i, é dicir, sen a necesidade dun elemento de identidade.
Non hai consenso na comunidade sobre se a existencia dunha identidade multiplicativa debe ser un dos axiomas de anel. O termo rng foi acuñado para aliviar esta ambigüidade cando as persoas queren referirse explicitamente a un anel sen o axioma da identidade multiplicativa.
Definición Formalmente, un rng é un conxunto R con dúas operacións binarias chamadas adición e multiplicación tal que:
(R,+) é un grupo abeliano. (R,·) é un semigrupo. A multiplicación é distributiva sobre a adición.
Un homomorfismo de rngs é unha función dun rng a outro tal que
f(x + y) = f(x) + f(y), f(x · y) = f(x) · f(y)
para todos os x e y en R.
Se R e S son aneis, entón un homomorfismo de aneis é o mesmo que un homomorfismo de rng que mapea 1 a 1.
Exemplos Todos os aneis son rngs. Un exemplo simple dun rng que non é un anel ven dado polos enteiros pares coa suma e multiplicación ordinaria de números enteiros.
Outro exemplo pode ser o conxunto de todos as matrices cuxa fila inferior é cero.
Ambos os exemplos son exemplos do feito xeral de que todo ideal é un rng.
Os rng adoitan aparecer con naturalidade na análise funcional cando consideramos os operadores lineares en espazos vectoriais de dimensión infinita. Tomemos por exemplo calquera espazo vectorial de dimensión infinita V e considere o conxunto de todos os operadores lineares con rango finito (é dicir, ). Xunto coas operacións adición e composición, este é un rng, mais non un anel. Outro exemplo é o rng de todas as secuencias reais que converxen a 0, coas operacións de compoñentes a compoñente.
Exemplo: números enteiros pares O conxunto 2Z de números enteiros pares está pechado baixo adición e multiplicación e ten unha identidade aditiva, 0, polo que é un rng, mais non ten unha identidade multiplicativa, polo que non é un anel.
En 2Z, o único multiplicativo idempotente é 0, o único nilpotente é 0.
Exemplo: secuencias finitas quinarias A suma directa equipada con adición e multiplicación por coordenadas é un rng coas seguintes propiedades::
Os seus elementos idempotentes forman unha retícula sen límite superior. Cada elemento x ten un inverso reflexivo, é dicir, un elemento y tal que e . Para cada subconxunto finito de , existe un idempotente en que actúa como unha identidade para todo o subconxunto: a secuencia cun un en cada posición onde unha secuencia do subconxunto ten un elemento non cero nesa posición e cero en cada unha das outras posicións.
Propiedades
Notas
Véxase tamén
Bibliografía
Outros artigos Anel (álxebra). Ligazóns externas Qiaochu Yuan "Non-unital rings".
Categoría:Teoría de aneis