En matemáticas, un espazo ultramétrico é un espazo métrico no que a desigualdade do triángulo faise máis forte sendo para todos os , , e . Ás veces, a métrica asociada tamén se denomina métrica non arquimediana ou supermétrica.
Definición formal Unha ultramétrica nun conxunto é unha función con valores reais
(onde denota os números reais), tal que para todo :
(simetría); ; se entón ; } (desigualdade forte do triángulo ou desigualdade ultramétrica).
Un espazo ultramétrico é un par formado por un conxunto xunto cunha distancia ultramétrica en , que se denomina función de distancia asociada ao espazo (tamén chamada métrica).
Se satisfai todas as condicións excepto posíbelmente a condición 4, entón chámase ultrapseudométrica en . Un espazo ultrapseudométrico é un par formado por un conxunto e un ultrapseudométrico sobre .
No caso de que sexa un grupo abeliano (escrito aditivamente) e é xerada por unha función de lonxitude (para que ), a última propiedade pódese fortalecer usando a Krull, temos:
con igualdade se .
Propiedades miniatura| No triángulo da dereita, os dous puntos inferiores x e y violan a condición d(x,y) ≤ max{ d (x, z), d (y,z)}. Da definición anterior, pódese concluír varias propiedades típicas da ultramétrica. Por exemplo, para todos os , cúmprese polo menos unha das tres igualdades ou ou . É dicir, cada tripla de puntos do espazo forma un triángulo isósceles.
Definimos a bóla (aberta) de raio centrado en como , temos as seguintes propiedades:
Todo punto dentro dunha bóla é o seu centro, é dicir, se entón . As bólas que se cruzan están contidas entre si, é dicir, se entón tampouco está baleiro ou . Todas as bólas de raio estritamente positivo son conxuntos abertos e pechados na topoloxía inducida. É dicir, as bólas abertas tamén están pechadas e as bólas pechadas (substitúe con ) tamén están abertas. O conxunto de todas as bólas abertas con raio e centro nunha bóla pechada de raio forma unha partición deste último, e a distancia mutua de dúas bólas abertas distintas é (maior ou) igual a .
Exemplos
A métrica discreta é unha ultramétrica. Os números p-ádicos forman un espazo ultramétrico completo. Considere o conxunto de palabras de lonxitude arbitraria (finita ou infinita), Σ*, sobre algún alfabeto Σ. Definimos a distancia entre dúas palabras diferentes como 2−n, onde n é o primeiro lugar no que difiren as palabras. A métrica resultante é unha ultramétrica. . Se r = (rn) é unha secuencia de números reais que decrecen a cero, entón |x|r := lim sup n →∞ | xn |rn induce unha ultramétrica no espazo de todas as secuencias complexas para as que é finita. Se G é un grafo non dirixido ponderado por arestas, todos os pesos das arestas son positivos, e d(u, v) é o peso do camiño mínimo entre u e v (é dicir, o maior peso dunha aresta, nun camiño escollido para minimizar este maior peso), entón os vértices do grafo, coa distancia medida por d, forman un espazo ultramétrico, e todos os espazos ultramétricos finitos poden representarse deste xeito..
Notas
Véxase tamén
Bibliografía . Outros artigos Espazo métrico.
Categoría:Topoloxía