miniatura| Triángulo. En xeometría, a desigualdade triangular é o feito de que, nun triángulo, a lonxitude dun lado é menor que a suma das lonxitudes dos outros dous lados. Esta desigualdade é relativamente intuitiva. Na vida ordinaria, como na xeometría euclidiana, isto tradúcese no feito de que a liña recta é o camiño máis curto: o camiño máis curto do punto A ao punto B é ir recto alí, sen pasar por un terceiro punto C que non estea na recta.
Enunciados
En xeometría Nun plano euclidiano, sexa un triángulo ABC. Entón, as lonxitudes AB, AC e BC satisfán as seguintes tres desigualdades:
.
A conxunción destas tres desigualdades é equivalente á dupla desigualdade: .
A primeira destas últimas desigualdades reflicte que nun triángulo, a lonxitude dun lado é maior que a diferenza das lonxitudes dos outros dous.
O caso da igualdade na segunda desigualdade sería:
.
Para os números complexos Usando unha representación complexa do plano euclidiano, podemos observar
Obtemos esta formulación equivalente.
Para , temos :
.
Xeneralización a espazos prehilbertianos Sexa un espazo prehilbertiano real. Denotamos como a norma asociada ao produto escalar. Para , usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz e o seu caso de igualdade, entón demostramos a desigualdade de Minkowski:
( e relacionados positivamente).
(Todo espazo pre-hilbertiano complexo é un espazo real pre-hilbertiano, para o produto escalar , que induce a mesma norma que o produto hermitiano .)
Punto de vista axiomático Sexa un conxunto e . Dicimos que é unha distancia en se:
A terceira propiedade require que para que sexa unha distancia debe verificar a desigualdade triangular. Xunto coa primeira, implica:
e máis xeralmente, para calquera parte non baleira de , (ver " Distancia").
Reciprocamente, .
Todo espazo vectorial normado , especialmente , está naturalmente provisto dunha distancia , definido por , para o que o incremento reescríbese:
.
Desigualdade triangular xeneralizada Podemos iterar a desigualdade triangular para un número finito de elementos.
En xeometría, isto dá :
, sendo o caso de igualdade para na mesma recta nesta orde.
Para complexos, isto dá :
, sendo o caso de igualdade se : é un real estritamente positivo para .
Para un espazo vectorial normado:
.
Sendo o caso de igualdade no caso prehilbertiano: Os vinculados positivamente de dous en dous.
Desigualdade triangular para integrais Se é unha función integrábel no sentido de Riemann (en particular se é continua por intervalos) nun intervalo , con valores nun espazo vectorial estandarizado, entón:
Sendo o caso de igualdade se é continua con valores complexos: hai unha constante de módulo 1 tal que en .
No caso real, isto é equivalente a que sexa de signo constante en . Notas
Véxase tamén
Bibliografía
Outros artigos Orde total.
Categoría:Xeometría Categoría:Topoloxía Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas