En matemáticas, a matriz transposta conxugada, tamén coñecida como transposición hermitiana, dun matriz complexa é unha matriz obtida por transposición de e aplicando a conxugación complexa a cada entrada (sendo o conxugado complexo de sendo, con números reais e ). Hai varias notacións, como ou , , ou (a miúdo en física) .
Para matrices reais, a transposición conxugada é só a transposición, .
Nalgúns contextos, denota a matriz con só entradas conxugadas complexas e sen transposición.
Definición A conxugada transposta dunha matriz defínese formalmente poronde o subíndice denota a -ésima entrada (elemento da matriz), para e , e a barra superior denota un conxugado complexo escalar.
Esta definición tamén se pode escribir como
onde denota a transposta e denota a matriz con entradas complexas conxugadas.
Exemplo Supoñamos que queremos calcular a transposición conxugada da seguinte matriz ,
Primeiro transpoñemos a matriz:
Entón conxugamos cada entrada da matriz:
Observacións básicas Unha matriz cadrada con entradas chámase
Hermitiana ou autoadxunta se ; é dicir, . Matriz antihermitiana se ; é dicir, . Normal se . Unitaria se , de forma equivalente , de forma equivalente .
Aínda se non é cadrada, as dúas matrices e son matrices hermitianas e, de feito, semidefinidas positivas.
A matriz "adxunta" transposta conxugada non debe confundirse coa matriz adxunta, .
A transposta conxugada dunha matriz con entradas reais redúcese á transposición de , xa que o conxugado dun número real é o propio número.
A transposta conxugada pódese motivar observando que os números complexos poden ser representados útilmente por matrices reais , obedecendo á suma e á multiplicación matricial:
Para unha explicación desta notación para os complexos, comezamos representando números complexos como a matriz de rotación, é dicir,
Posto que , lévanos ás representacións matriciais dos números unitarios como
Un número complexo en xeral represéntase logo como A operación complexo conxugado (que envía a para números reais ) está recollida como a matriz transposta.
Notas
Véxase tamén Outros artigos Matriz adxunta. Matriz inversa. Ligazóns externas
Categoría:Matrices Categoría:Álxebra lineal Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas