En matemáticas, especialmente en combinatoria, os números de Stirling de primeira especie xorden no estudo das permutacións. En particular, os números de Stirling sen signo de primeira especie contan permutacións segundo o seu número de ciclos (contando os pontos fixos como ciclos de lonxitude un).
Os números de Stirling de primeira e segunda especie poden ser entendidos como inversos un do outro, cando son vistos como matrices triangulares. Este artigo está dedicado especificamente aos números de Stirling de primeira especie. As identidades que vinculan as dúas clases aparecen no artigo sobre números de Stirling.
Definicións
Definición por álxebra Os números de Stirling de primeira especie son os coeficientes na expansión do factorial descendente
en potencias da variable
Por exemplo,
,
o que leva aos valores , , e .
Os números de Stirling sen signo tamén poden ser definidos alxebricamente como os coeficientes do factorial ascendente:
.
As notacións usadas nesta páxina para os números de Stirling non son universais, e poden entrar en conflito coas notacións noutras fontes; a notación do corchete cadrado é tamén unha notación común para os coeficientes Gaussianos.
Definición por permutacións Posteriormente, descubriuse que os valores absolutos destes números son iguais ao número de certos tipos de permutacións. Estes valores absolutos, coñecidos como números de Stirling de primeira especie sen signo, denótanse a miúdo por ou . Poden ser definidos directamente por ser o número de permutacións de elementos con ciclos disxuntos.
Por exemplo, das permutacións de tres elementos, hai unha permutación con tres ciclos (a permutación identidade, denotada en notación dunha liña, ou por en notación cíclica), tres permutacións con dous ciclos (, , e ) e dúas permutacións con un ciclo ( e ). Así , , e . Estes números pódese ver que coinciden cos cálculos alxébricos previos para con . miniatura|350x350px|s(4,2)=11 Para outro exemplo, a imaxe da dereita mostra que o grupo simétrico con 4 obxectos ten 3 permutacións da forma
(que teñen 2 órbitas, cada unha de tamaño 2),
e 8 permutacións da forma
(que teñen 1 órbita de tamaño 3 e 1 órbita de tamaño 1).
Estes números poden ser calculados considerando as órbitas como clases de conxugación. Alfred Rényi observou que o número de Stirling de primeira especie sen signo tamén conta o número de permutacións de tamaño con máximos de esquerda a dereita.
Signos Os signos dos números de Stirling de primeira especie con signo dependen só da paridade de :
Relación de recorrencia Os números de Stirling de primeira especie sen signo seguen a relación de recorrencia
para , coas condicións de fronteira
para .
Séguese inmediatamente que os números de Stirling de primeira especie con signo satisfán a recorrencia
.
Táboa de valores Abaixo móstrase unha táboa triangular de valores sen signo para os números de Stirling de primeira especie, similar en forma ao triángulo de Pascal. Estes valores son fáciles de xerar utilizando a relación de recorrencia da sección anterior. 012345678910011012011302314061161502450351016012027422585151707201764162473517521180504013068131326769196032228190403201095841181246728422449453654636110036288010265761172700723680269325632739450870451
Notas
Categoría:Combinatoria