En matemáticas, o teorema dos discos de Gershgorin pódese utilizar para limitar o espectro dunha matriz cadrada. Foi publicado por primeira vez polo matemático soviético Semyon Aronovich Gershgorin en 1931. O nome de Gershgorin foi transliterado de varias maneiras diferentes, incluíndo Geršgorin, Gerschgorin, Gershgorin, Hershhorn e Hirschhorn.
Enunciado e demostración Definicións. Sexa unha matriz cadrada de orde con entradas no corpo dos números complexos. Para cada , definimos o -ésimo radio de Gershgorin como a suma dos valores absolutos das entradas non diagonais na fila -ésima, é dicir,
Do mesmo xeito, para cada , definimos o -ésimo disco de Gershgorin como o disco de centro e radio , é dicir, como o conxunto
Teorema. Sexa . Entón cada valor propio de atópase dentro de polo menos un dos discos de Gershgorin. Equivalentemente,
onde representa o espectro de .
Demostración. Sexan un valor propio de e un vector propio asociado, é dicir, . Consideremos o índice tal que e a igualdade
Despexando o termo diagonal da -ésima fila, temos que
ou equivalentemente
Así, aplicando a desigualdade triangular,
Corolario. Sexa . Entón onde representa o radio espectral da matriz.
Corolario. Sexa . Entón cada valor propio de atópase dentro de polo menos un dos discos de Gershgorin asociados a e Exemplo. Os discos de Gershgorin coinciden co espectro (só) no caso de matrices diagonais.
Unha forma de interpretar este teorema é que as entradas fóra da diagonal son capaces de perturbar os valores propios que tería a matriz de ser diagonal (é dicir, os elementos da diagonal). Se as normas dos valores non diagonais son pequenas, os valores propios non poden estar moi lonxe das entradas diagonais.
É interesante notar que, para unha matriz hermitiana, os discos de Gershgorin redúcense a intervalos na recta real (véxase o teorema de descomposición espectral).
Matrices diagonal dominantes Podemos definir as matrices diagonal dominantes por filas empregando a notación de teorema anterior como as matrices tales que para todo (no caso de columnas basta con considerar os radios da matriz trasposta).
Tense en particular o seguinte resultado relativo a matrices hermitianas:
Corolario. Unha matriz hermitiana e diagonal dominante é definida positiva (respectivamente definida negativa) se (respectivamente ) para todo .
Demostración. Se , polo teorema de Gershgorin para algún . Pero entón , de onde . Como todos os autovalores de son reais positivos, é definida positiva.
Véxase tamén
Bibliografía
(Errata). 1 Prentice Hall, 1962.
Outros artigos Teorema de Perron-Frobenius Teorema de descomposición espectral Teorema de Taussky
Ligazóns externas Eric W. Weisstein. "Gershgorin Circle Theorem" Biografía de Semyon Aranovich Gershgorin en MacTutor Categoría:Álxebra lineal Categoría:Álxebra Categoría:Teoremas Categoría:Radio espectral