dereita|miniatura|A definición da integral de superficie baséase en dividir a superficie en pequenos elementos, ao igual que a integración usual. En matemáticas, particularmente no cálculo multivariábel, a integral de superficie xorde coma unha xeneralización da integral múltiple en aplicada a unha superficie. Dada unha superficie e un campo escalar asociado (unha función ), ou campo vectorial(unha función do tipo ), é posible integrar cada un deles.

As integrais de superficie teñen numerosas aplicacións na física, particularmente nas teorías clásicas do electromagnetismo e a mecánica de fluídos, debido á súa gran capacidade de descrición. dereita|miniatura|Unha ilustración dun único elemento de superficie. Estes elementos vanse volvendo infinitesimalmente pequenos, mediante o proceso de paso ao límite, aproximando cada vez mellor a superficie.

Integrais de superficie de campos escalares Supoñamos que é un campo escalar continuo definido nunha superficie . Para atopar unha fórmula explícita para a superficie integral de sobre , precisamos parametrizar definindo un sistema de coordenadas curvilíneas sobre , como podería selo a latitude e lonxitude na esfera, vista coma unha superficie de revolución. Supoñamos entón que é unha parametrización, onde pertence a algunha rexión do plano. Entón, a integral da superficie existe(debido á continuidade) e vén dada por:

onde a expresión entre barras no lado dereito é a magnitude do produto cruzado das derivadas parciais de , e coñécese como o elemento de superficie (que, por exemplo, produciría un valor máis pequeno preto dos polos dunha esfera, onde as liñas de lonxitude converxen máis dramaticamente, e as coordenadas latitudinais están máis compactamente espazadas). Ao igual que no resto da teoría de superficies, o que se está a facer é ampliar un concepto euclídeo(doadamente comprensible) a unha superficie(conxunto no que non sabemos traballar) por medio da paramatrización . A integral da superficie tamén se pode expresar de xeito equivalente como:

onde é o determinante da primeira forma fundamental asociada á parametrización .

Por exemplo, se queremos atopar a área do gráfico dalgunha función escalar , temos:

onde . Así que:, e . Polo tanto:

que é a fórmula estándar para a área dunha superficie descrita desta maneira. Véxase que o vector normal á superficie aparece na segunda liña, isto é debido a que as derivadas parciais da parametrización atópanse no espazo tanxente, e o produto cruzado devolve un vector ortogonal ao plano.

Debido á presenza do produto cruzado, as fórmulas anteriores só funcionan para superficies incrustadas no espazo tridimensional.

Isto tamén podes ser interpretado como a integración dunha forma de volume riemanniana na superficie parametrizada, onde o tensor métrico vén dado pola primeira forma fundamental da superficie.

Integrais de superficie de campos vectoriais Considérese un campo vectorial sobre unha superficie , é dicir, para cada en , é un vector.

Ao comezo do artigo definimos unha noción intuitiva sobre como construír a integración sobre superficies. Nesta sección imos supoñer que só se desexa integrar a compoñente normal do campo vectorial , o resultado é un escalar, xeralmente chamado o fluxo que pasa a través da superficie. Por exemplo, imaxine un fluído(auga, vento, etc.) que flúe a través de , de xeito que determina a velocidade do fluído no punto . O fluxo defínese como a cantidade de fluído que atravesa por unidade de tempo.

Esta ilustración implica que se o campo vectorial é tanxente a en cada punto, entón o fluxo é nulo porque na superficie , o fluído só flúe ao longo de S, non entra nin sae ren. Isto tamén implica que se non só flúe ao longo de , é dicir, se ten compoñentes tanto tanxenciais como normais, entón só a compoñente normal contribúe ao fluxo. En base a este razoamento, para atopar o fluxo, precisamos atopar a compoñente normal de sobre cada punto da superficie, o cal é sinxelo tomando o produto escalar do campo co vector normal unitario a , , en cada punto, o que nos dará un campo escalar. Unha vez obtido, só hai que integrar o campo escalar como foi amosado na sección anterior. Noutros termos, temos que integrar con respecto ao elemento de superficie do vector , que é o vector normal a no punto dado, cuxa magnitude é

Chegamos así á fórmula:

O produto cruzado no lado dereito da última expresión, é un vector normal a (non necesariamente unitario) determinado pola parametrización.

Esta fórmula define a integral inicial (nótese o punto e a notación vectorial para o elemento de superficie).

Tamén podemos interpretar isto como un caso especial de integración de 2-formas, onde identificamos o campo vectorial cunha 1-forma, e logo integramos o seu dual de Hodge sobre a superficie. Isto é equivalente á integración de sobre a superficie mergullada, onde é forma de volume inducida na superficie por multiplicación interior da métrica riemanniana do espazo ambiente coa normal externa da superficie.

Integrais de superficie de 2-formas diferenciais Sexa

unha 2-forma diferencial definida nunha superficie en , e sexa:

unha parametrización de que preserva a orientación, con . As 1-formas das coordenadas volven como:

Polo que:

,

onde a notación da dereita denota o determinante do jacobiano. Os pullbacks das outras formas son semellantes.

Entón, a superficie integral de sobre vén dada por

onde

é o elemento superficial normal a .

Nótese que a integral desta 2-forma é a mesma que a integral da superficie do campo vectorial que ten como compoñentes , e .

Teoremas que involucran integrais de superficie Pódense derivar numerosos resultados útiles para integrais de superficie empregando xeometría diferencial e cálculo vectorial, talles como o teorema de diverxencia, o teorema de Gauss, a descrición do fluxo magnético, o teorema de Stokes.

Dependencia da parametrización Notemos que definimos a superficie integral mediante unha parametrización da superficie . Sabemos que unha superficie dada podería ter varias parametrizaciones. Por exemplo, se movemos as localizacións do Polo norte e do Polo sur nunha esfera, a latitude e a lonxitude cambian para todos os puntos da esfera. Semlla entón natural cuestionarse se a definición da integral da superficie depende da parametrización escollida. Para a integral de campos escalares, a resposta é doada; o valor da integral da superficie será o mesmo, independentemente da parametrización.

Para integrais de campos vectoriais, as cousas son máis complicadas debido a que o vector normal á superficie está involucrado. Pódese demostrar que dadas dúas parametrizacións da mesma superficie, cuxos normais apuntan na mesma dirección, estas devolven o mesmo valor para a integral. Con todo, se os normais para estas parametrizacións apuntan en direccións opostas, o valor da integral de superficie obtida empregando unha parametrización é o oposto do devolto pola outra parametrización. Dedúcese que dada unha superficie, non precisamos cinguirnos a ningunha parametrización única, pero, cando integramos campos vectoriais, é preciso decidir de antemán en que dirección apuntará o normal, e logo elixir calquera parametrización coherente con esa dirección.

Outro problema é que ás veces as superficies non teñen parametrizaciones que cubran toda a superficie. A solución obvia é entón dividir esa superficie en varias pezas, calcular a superficie integral en cada peza e logo sumalas todas. De feito, así é como se adoita proceder, mais cando se integran campos vectoriais, un debe ter coidado novamente de como elixir o vector normal para cada peza da superficie, de xeito que cando se volvan a xuntar, os resultados sexan consistentes. No caso do cilindro tapado a ámbolos lados, isto implica que se decidimos que para a rexión lateral, o normal apuntará cara fóra do corpo, entón para as partes circulares superior e inferior, o normal tamén debe apuntar cara fóra.

Por último, hai superficies que non admiten un vector normal en cada punto con resultados consistentes (por exemplo, a tira de Möbius). Se unha superficie deste tipo é dividida en pezas, en cada unha delas elíxese unha parametrización e un normal correspondente, e as pezas vólvense xuntar, atoparemos que os vectores normais procedentes de diferentes pezas non se poden reconciliar. Isto quere dicir que nalgunha unión entre dúas pezas, teremos vectores normais apuntando en direccións opostas. Tal superficie chámase non orientable, e neste tipo de superficie, non se pode falar da integración de campos vectoriais.

Véxase tamén

Elemento de área Teorema de diverxencia O teorema de Stokes Teorema de Gauss Liña integral Elemento de liña Elemento de volume Integral de volume Sistema de coordenadas cartesianas Elementos de volume e superficie en sistemas de coordenadas esféricas Elementos de volume e superficie en sistemas de coordenadas cilíndricas Método de Holstein-Herring

Referencias

Enlaces externos

Categoría:Wikipedia:Páxinas que usan barra lateral co parámetro child Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas

Categoría:Cálculo vectorial Categoría:Cálculo integral Categoría:Xeometría diferencial Categoría:Análise matemática