En matemáticas, un operador de pechamento nun conxunto é unha aplicación desde conxunto potencia de S nel mesmo que satisfai as seguintes condicións para todos os conxuntos {| border="0"
| (extensividade),
| (monotonía),
| (idempotencia).
Historia E. H. Moore estudou os operadores de pechamento no seu Introduction to a form of general analysis de 1910, mentres que o concepto do pechamento dun subconxunto orixinouse no traballo de Frigyes Riesz en relación cos espazos topolóxicos. Aínda que non se formalizou nese momento, a idea de pechamento orixinouse a finais do século XIX, con notables contribucións de Ernst Schröder, Richard Dedekind e Georg Cantor.
Conxuntos pechados Os operadores de pechamento están determinados polos seus conxuntos pechados, é dicir, polos seus puntos fixos, xa que o pechamento dun conxunto é o conxunto pechado máis pequeno que contén a . Tales familias de "conxuntos pechados" ás veces denomínanse sistemas de pechamento ou "familias de Moore". Un par formado por un conxunto non baleiro e un operador de pechamento sobre o mesmo denomínase espazo de pechamento. Os operadores de pechamento tamén se denominan "operadores de envoltura", o que evita a confusión cos "operadores de pechamento" estudados en topoloxía.
Considerando un espazo de pechamento así como a familia de Moore asociada ao operador , tense que é un conxunto "pechado para a intersección". Á inversa, se é un conxunto pechado respecto a interseccións arbitrarias, entón a función que asocia a cada subconxunto de o conxunto máis pequeno de tal maneira que é un operador de pechamento.
Noutras palabras, dado un conxunto non baleiro e un subconxunto non baleiro , a aplicación dada por
é un operador de pechamento se e só se é un semirretículo inferior completo. Nese caso, é a familia de Moore asociada ao operador .
Existe un algoritmo sinxelo e rápido para xerar todos os conxuntos pechados dun operador de pechamento dado.
Conxuntos pseudo-pechados Cada operador de pechamento nun conxunto finito S está determinado univocamente polas imaxes dos seus conxuntos pseudo-pechados. Estes defínense recursivamente: Un conxunto é pseudo-pechado se non é pechado e contén o pechamento de cada un dos seus subconjuntos propios pseudo-pechados. Formalmente, dado un espazo de pechamento , dicimos que un conxunto pseudo-pechado se e dado calquera subconxunto propio se ten que .
Operadores de pechamento en topoloxía Un operador de pechamento sobre un conxunto dise que é unha clausura de Kuratowski se satisfai os axiomas de pechamento de Kuratowski. Ao ser un operador de pechamento, é unha clausura de Kuratowski se e só se a familia de Moore asociada a devandito pechamento é "pechado baixo unións finitas" e ; equivalentemente, se é un subretículo de .
Dado un conxunto , unha topoloxía sobre é unha colección de subconxuntos de que satisfai
Os elementos de chámanse conxuntos abertos e o par recibe o nome de espazo de convexidade. O pechamento topolóxico dun subconjunto dun espazo topolóxico consiste no conxunto formado por todos os puntos do espazo para os cales toda veciñanza contén algún punto de . A función que asocia a cada subconjunto o seu pechamento topolóxico é unha clausura de Kuratowski, é dicir, un operador de pechamento que, para todos os conxuntos , verifica
{| border="0"
| (regularidade),
| (subaditividade).
Á inversa, toda clausura de Kuratowski nun conxunto dá lugar a un espazo topolóxico dado por
onde é a familia de Moore asociada a .
Operadores de pechamento en álxebra Un operador de pechamento sobre un conxunto dise que é finitario se
Os operadores de pechamento finitarios teñen un papel relativamente prominente na álxebra universal e neste contexto chámaselles tradicionalmente operadores de pechamento alxébricos. Cada subconxunto dunha álxebra xera unha subálxebra: a subálxebra máis pequena que contén o devandito conxunto. Isto dá lugar a un operador de peche finitario.
Dado un operador de pechamento finitario nun conxunto, os pechamentos de conxuntos finitos son exactamente os elementos compactos da familia de Moore asociada respecto á relación de orde parcial dada pola inclusión. De feito, é un conxunto parcialmente ordenado se e só se o operador de pechamento que determina o conxunto é finitario.
Quizais o exemplo mellor coñecido disto é a aplicación que asocia a cada subconxunto dun espazo vectorial o seu subespazo xerado. De xeito semellante, tamén son exemplos a aplicación que asocia a cada subconxunto dun grupo dado o subgrupo xerado por el e diferentes análogos para todos os demais tipos de estruturas alxébricas.
A aplicación que mapea cada subconxunto dun corpo dado ao seu pechamento alxébrico é tamén un operador de pechamento finitario, en xeral, diferente do operador mencionado anteriormente.
Matroides A envoltura liñal nun espazo vectorial satisfai a propiedade de intercambio de Steinitz-Mac Lane:
Os matroides admiten unha definición en temos de operadores de pechamento como aqueles que satisfán a propiedade de intercambio de Steinitz-Mac Lane.
Antimatroides Outro exemplo dun operador de pechamento finitario é a envoltura convexa usual nun espazo euclidiano , que ademais satisfai a propiedade de anti-intercambio:
Os operadores de pechamento finitario con esta propiedade dan lugar a antimatroides.
Convexidade abstracta A noción de convexidade abstracta foi desenvolvida, entre outros, por M. L. J. van de Vel como unha xeneralización abstracta a partir das propiedades dos conxuntos convexos usuais dos espazos euclidianos e pode formularse naturalmente en termos de operadores de pechamento.
Dado un conxunto , unha convexidade sobre é unha colección de subconxuntos de que satisfai
Os elementos de chámanse conxuntos convexos e o par recibe o nome de espazo de convexidade. A partir de defínese o operador de pechamento dado por
de xeito que, é a familia de Moore asociada ao operador. Reciprocamente, dado un espazo de pechamento , se é finitario e verifica , entón o par , onde é a familia de Moore asociada ao operador , é un espazo de convexidade.
A convexidade abstracta permite, deste xeito, estudar propiedades da envoltura convexa sen depender da estrutura lineal ou métrica particular dos espazos euclidianos. As propiedades adicionais impostas ao operador de pechamento dan lugar a distintas clases de espazos de convexidade. Entre elas atópanse as estruturas de convexidade asociadas a antimatroides e outras clases de sistemas de pechamento.
Véxase tamén
Outros artigos Operador de prepechamento Pechamento (topoloxía) Álxebra interior Interior (topoloxía) Axiomas de pechamento de Kuratowski Conxunto convexo Antimatroides
Bibliografía
Garrett Birkhoff. 1967 (1940). Lattice Theory, 3ª ed. Sociedade Americana de Matemáticas. Burris, Stanley N. e H.P. Sankappanavar (1981) A Course in Universal Algebra Springer-Verlag. Edición gratuíta en liña. Brown, D.J. e Suszko, R. (1973) "Lóxica abstracta", Dissertationes Mathematicae 102- 9-42. Castellini, G. (2003) Categorical closure operators. Boston MA: Birkhaeuser. Edelman, Paul H. (1980) Meet-distributive lattices and the anti-exchange closure, Algebra Universalis, 10: 290-299. Ward, Morgan (1942) "The closure operators of a lattice", Anais de Matemáticas 43: 191-96. Gierz, K. H. Hofmann, K. Keimel, J. D. Lawson, M. Mislove, D. S. Scott: Continuous Lattices and Domains, Cambridge University Press, 2003
Categoría:Teoría da orde Categoría:Operadores de pechamento Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas