In matematica il punto di accumulazione è uno dei concetti principali dell'analisi matematica e della topologia.
Definizione Dato l'insieme e (non interessa che appartenga ad o meno), si dice che è punto di accumulazione per l'insieme se in ogni intorno di esiste almeno un elemento diverso da e appartenente ad . In formule:
Intuitivamente questo significa che arbitrariamente vicino a ci sono sempre punti di (diversi da ).
La definizione di punto di accumulazione è la negazione di quella di punto isolato.
Generalizzazioni La nozione di punto di accumulazione è generalizzata agli spazi metrici e topologici; in entrambi i casi un punto è di accumulazione per un insieme se l'insieme contiene punti "arbitrariamente vicini" ad . La nozione di "arbitrariamente vicino" è formalizzata in modo appropriato, a seconda che lo spazio sia munito di una metrica o soltanto di una topologia.
Spazi topologici In topologia un punto appartenente ad uno spazio topologico è un punto di accumulazione per un sottoinsieme di se qualsiasi aperto contenente interseca in almeno un punto diverso da . In simboli:
Spazi metrici In uno spazio metrico, se si considera la topologia naturale indotta dalla metrica, la definizione introdotta precedentemente è equivalente alla seguente:
dove è la palla di raggio e centro . In altre parole, ogni palla centrata in interseca in qualche punto diverso da .
Nel caso di spazi metrici, se è punto di accumulazione per , allora è possibile trovare punti di , distinti da a distanza arbitrariamente piccola da . Dunque in ogni intorno di cadono infiniti punti di .
Nozioni correlate L'insieme dei punti di accumulazione di è detto insieme derivato di e si indica di solito con .
Note
Voci correlate Limite Insieme limite Punto isolato Punto di aderenza Frontiera (topologia) Teorema di Bolzano-Weierstrass
Collegamenti esterni
Categoria:Topologia generale Categoria:Geometria metrica Categoria:Limiti