Viene qui presentata una tavola dedicata ai gruppi finiti di ordine piccolo, cioè di cardinalità contenuta. Vengono elencati tutti i gruppi con al più 19 elementi.

Tavole di questo tipo, oltre a fornire numerosi esempi, sono anche utili per capire "che tipo di gruppo è" un gruppo dato (cioè, più formalmente, a quale di questi è isomorfo). Infatti in molti casi alcune semplici informazioni facilmente calcolabili, come la cardinalità e il fatto che sia abeliano o meno, sono sufficienti a determinare il gruppo dato.

Notazioni usate

Cn: gruppo ciclico di ordine n, si assume come convenzione che Cn= { e, a, a2, a3, a4, a5,..., an-1 }. Dn: gruppo diedrale di ordine 2n: Dn= Sn: gruppo simmetrico di grado n, costituito dalle n! permutazioni di n oggetti. An: gruppo alternante di grado n, costituito dalle n!/2 permutazioni pari degli n oggetti. Tale gruppo può essere visto come sottogruppo di indice 2 del gruppo Sn. Dicn: gruppo diciclico di ordine 4n. e: elemento neutro del gruppo. <a>: sottogruppo ciclico generato dall'elemento a.

La notazione G × H denota il prodotto diretto di due gruppi G e H. I gruppi abeliani e i gruppi semplici vengono segnalati. Per i gruppi di ordine n < 60, i gruppi semplici sono precisamente i gruppi ciclici Cn, per n numero primo. Per denotare la relazione di isomorfismo tra gruppi usiamo il segno di uguaglianza "=".

Nei grafi dei cicli dei gruppi l'elemento identità è raffigurato da un cerchietto nero.

Tavola Ordine Gruppo Proprietà Sottogruppi normali Sottogruppi massimali Grafo dei cicli 1 Gruppo banale = C1 = S1 = A2 abeliano C1 = S1 = A2 center 2 C2 = S2 abeliano, semplice, il più piccolo gruppo non banale {e}, C2 = S2 {e} center 3 C3 = A3 abeliano, semplice {e}, C3 = A3 {e} center 4 C4 abeliano  {e}, <a2>, C4 <a2> center Gruppo di Klein = C2 × C2 = D2 abeliano, il più piccolo gruppo non ciclico {e}, <r>, <s>, <rs>, Dic1 <r>, <s>, <rs> center 5 C5 abeliano, semplice {e}, C5 {e} center 6 C6 = C2 × C3 abeliano {e}, <a2>, <a3>, C6 <a2>, <a3> center S3 = D3 il più piccolo gruppo non abeliano {e}, A3=<(1,2,3)>, S3 <(1,2)>, <(2,3)>, <(1,3)>, A3 center 7 C7 abeliano, semplice {e}, C7 {e} center 8 C8 abeliano {e}, <a4>, <a2>, C8 <a2> center C2 ×C4 abeliano center C2 × C2 × C2 = D2 × C2 abeliano center D4 non abeliano center Gruppo dei quaternioni, Q8 = Dic2 non abeliano; il più piccolo gruppo hamiltoniano center 9 C9 abeliano center C3 × C3 abeliano center 10 C10 = C2 × C5 abeliano center D5 non abeliano center 11 C11 abeliano, semplice center 12 C12 = C4 × C3 abeliano center C2 × C6 = C2 × C2 × C3 = D2 × C3 abeliano center D6 = D3 × C2 non abeliano center A4 non abeliano center Dic3 = prodotto semidiretto di C3 e C4, dove C4 agisce su C3 per inversione non abeliano center 13 C13 abeliano, semplice center 14 C14 = C2 × C7 abeliano center D7 non abeliano center 15 C15 = C3 × C5 abeliano center 16 C16 abeliano center C2 × C2 × C2 × C2 abeliano center C2 × C2 × C4 abeliano center C2 × C8 abeliano center C4 × C4 abeliano center D8 non abeliano center Gruppo generalizzato dei quaternioni, Q16 = Dic4 non abeliano center C2 × D4 non abeliano center C2 × Q8 non abeliano center Gruppo quasidiedrale di ordine 16 non abeliano center Gruppo modulare di ordine 16 non abeliano center Prodotto semidiretto di C4 e C4 dove un fattore agisce sull'altro per inversione non abeliano center Gruppo generato dalle matrici di Pauli non abeliano center G4,4 non abeliano center 17 C17 abeliano, semplice 18 C18 abeliano D9 non abeliano C3 × S3 non abeliano C6 × C3 abeliano Prodotto semidiretto di C3 × C3 e C2 non abeliano 19 C19 abeliano, semplice

Biblioteca dei gruppi piccoli Il sistema di algebra computazionale GAP contiene la "Small Groups library" che consente di accedere alla descrizione dei gruppi di ordine "piccolo". Anche in questa biblioteca i gruppi sono presentati a meno di isomorfismo, cioè attraverso rappresentanti delle classi di isomorfismo.

Attualmente la biblioteca contiene i seguenti gruppi: quelli di ordine non superiore a 2000, eccettuati quelli di ordine 1024 (si tratta di ben 423 164 062 gruppi); i gruppi di ordine 55 e 74 (92 gruppi); i gruppi di ordine qn·p dove qn è multiplo di 28, 36, 55 o 74 e dove p è un primo arbitrario diverso da q; quelli il cui ordine si fattorizza in al più 3 fattori primi. Essa contiene descrizioni esplicite dei gruppi presentati in un formato leggibile da computer.

Questa biblioteca è stata costruita e organizzata da Hans Ulrich Besche, Bettina Eick ed Eamonn O'Brien.Il sito della Small Groups library".

Note

Bibliografia

Categoria:Teoria dei gruppi