Тридимензионален простор

мини|250п|Тридимензионален Декартов координатен систем.

Тридимензионален простор или (3Д-простор) — математички простор во кој се потребни три вредности (наречени координати) за одредување на положбата на една точка. Во највообичаената смисла, ова е тридимензионален Евклидов простор, т.е. Евклидовиот простор од трета димензија, со кој го моделираме физичкиот простор. Поопштите тридимензионални простори се нарекуваат тридимензионални многуобразија. Поимот разговорно може да се однесува на подмножество на простор, тридимензионална област (или 3Д-домен), тело.

Технички гледано, кратно на броеви може да се поимува како Декартови координати на место во -димензионален Евклидов простор. Множеството од овие -кратна се бележи како и може да се поистовети со парот образуван од -димензионален Евклидов простор и Декартов координатен систем. Кога , овој простор се нарекува тридимензионален Евклидов простор (или просто „Евклидов простор“ кога контекстот е јасен). Во класичната физика тој служи како модел за физичката вселена, во кој постои сета материја. Кога се зема предвид теоријата за релативноста, може да се смета за месен потпростор на време-просторот. Иако ова е најшироко употребуваниот модел на светот кој го искусуваме, тој е само еден пример за тридимензионално многуобразие. Во овој класичен пример, кога трите вредности се однесуваат на мерки во разни насоки (координати), можеме да избереме било кои три насоки под услов тие да не лежат на иста рамнина. Покрај тоа, ако овие насоки се спарени нормали, трите вредности ги нарекуваме ширина, висина/длабочина и должина.

Историја Филозофот Аристотел говори за постоењето на три димензии:

Книгите XI и XIII од „Елементи“ на Евклид се занимаваат со тридимензионална геометрија. Книга XI ги образложува нормалноста, паралелноста и ортогоналноста на правите и рамнините, конструкцијата и својствата на аглите и на паралелопипедните тела. Книга XII зборува за инфинитезималите и методот на исцрпување за пронаоѓање на плоштината на круг или зафатнината на пирамида, конус, цилиндар или сфера. Книга XIII го опишува конструирањето на пет правилни Платонови тела во сфера: коцката, октаедарите, икосаедарите и додекаедарите.

Во XVII век тридимензионалниот простор е опишан со Декартови координати, со појавата на аналитичката геометрија разработена од Рене Декарт во неговото дело „Геометрија“. Пјер де Ферма независно разработил слични идеи во ракописот „Вовед во рамни и просторни места“ (Ad locos planos et solidos isagoge), кој не го објавил додека бил жив. Неговата работа на барање на екстреми на крива ги удрила темелите на диференцијалното сметање. Исак Њутн го вовел поларниот координатен систем како алтернативен недекартов систем, корисен во некои геометрии.

Во XVIII век Алекси Клеро проучувал алгебарски криви во просторот, концептот за допирен простор и закривеност, како и употребата на анализа за таа цел. Леонард Ојлер го разгледувал поимот за геодезиска линија на површина, изведувајќи ја првата аналитичка геодезиска равенка, а потоа го вовел првиот збир од сопствени координатени системи на површина, воведувајќи ја теоријата за сопствена геометрија на која се засноваат современите геометриски идеи. Во 1760 г. Ојлер докажал теорема изразувајќи ја закривеноста на просторна крива на површина со главни кривини, познато како Ојлерова теорема. Подоцна истиот век, Гаспар Монж направил важни придонеси кон проучувањето на кривите и површините. Со тоа Ојлер и Монж ги поставиле темелите на диференцијалната геометрија.

Во XIX век геометријата на тридимензионалниот простор бележи развој со работата на ирскиот математичар Вилијам Роуан Хамилтон, поточно разработката на кватернионите, кои се хиперкомплексен броен систем. За таа цел Хамилтон ги ги вовел поимите скалар и вектор, кои за прват се дефинирани во тридимензионална смисла во геометриската рамка за кватерниони. Така, тридимензионалниот простор можел да се опише со помош на кватернионите кои имале исчезнувачка скаларна составница, т.е. .

Со неговата работа Хамилтон посредно го вовел поимот за база, тука даден од кватернионските елементи , како и скаларниот и векторскиот производ, што соодветствува на (негативот од) скаларниот дел и векторскиот дел на производот од два векторски кватерниона. Овие два производа се препознаени како нешта сами по себе дури од Вилард Гибс, Современото бележење на скаларните и векторските производи е воведено од неговите наставни белешки, употребени и во „Векторска анализа“ (1901) од Едвин Бидвел Вилсон, врз основа на Гибсовите предавања.

Понатамошниот развој уследил во облик на апстрактниот формализам на векторските простори во работата на Херман Грасман и Џузепе Пеано; Пеано ја дал првата современа дефиниција за векторски простори како алгебарска структура. Развојот на матричната математика и нејзината применаво n-димензионална геометрија е плод на залагањата на Артур Кејли.

Во Евклидовата геометрија

Координатни системи

Во математиката, аналитичката геометрија (наречена и Декартова геометрија) ја опишува секоја точка во тридимензионалниот простор со помош на три координати. Се даваат три координатни оски, секоја од нив нормална на другите две во почетокот, точката во која се сечат. Тие се бележат со и . Во однос на тие оски, положбата на секоја точка во тридимензионалниот простор се изразува како подредена тројка од реални броеви, каде секој број е растојанието на таа точка од почетокот измерен долж дадената оска, што е еднакво на оддалеченоста на таа точка од рамнината определена од другите две оски.

Други чести начини на опишување на местоположбата на една точка во тридимензионален простор се цилиндричните и сферните координати, иако има бесконечно многу можни начини.

Подолу се прикажани гореспоманатите системи.

Прави и рамнини

Две различни точки секогаш определуваат права. Три различни точки може да бидат или колинеарни, или да определуваат своја рамнина. Од друга страна, четири различни точки можат да бидат или колинеарни, или копланарни, или да го определуваат целиот простор.

Две одделни прави можат да се пресекуваат, да бидат паралелни или да се разминувачки. Две паралелни прави или две пресекувачки прави лежат на своја рамнина, па така разминувачките прави се прави кои не се среќаваат и не лежат на иста рамнина.

right|мини|Однос помеѓу три рамнини; само во примерот 12 рамнините се среќаваат во точка. Две различни рамнини можат или да се среќаваат во заедничка права, или да бидат паралелни (т.е. да не се среќаваат). Три различни прави (каде ниеден пар не е паралелен), можат да се среќаваат во заедничка права, во една заедничка точка, или да немаат ниедна заедничка точка. Во последниот случај, трите прави во пресекот на секој пар се взаемно паралелни.

Една права може да лежи на дадена рамнина, да ја пресекува таа рамнина во единствена точка или да биде паралелна на рамнината. Во последниот случај може да се образуваат прави на рамнината кои се паралелни на дадената права.

Хиперрамнината е потпростор со една димензија помалку од димензијата на целиот простор. Хиперрамнините во тридимензионален простор се дводимензионални потпростори, т.е. рамнини. Изразено во Декартови координати, точките на хиперрамнината задоволуваат една линеарна равенка, така што рамнините во овој тридимензионален простор се опишуваат со линеарни равенкии. Правата може да се опише со пар независни линеарни раевнки — секоја од нив претставува рамнина со оваа права како заеднички пресек.

Варињоновата теорема вели дека средишната точка на секој четириаголник во образува паралелограм, и затоа е копланарен.

Сфери и топки

right|thumb|Перспективна проекција на сфера врз две димензии. Сферата во тридимензионален простор (наречена и дводимензионална сфера бидејќи е тело со две димензии) се состои од множество од сите точки во тридимензионален простор на дадено растојание од централната точка . Телото кое го обвива сферата се нарекува топка (поточно, тридимензионална топка).

Зафатината на топката е дадена со

а плоштината на сферата е

Друг вид на сфера произлегува од четиридимензионална топка, чија тридимензионална површина е тридимензионалната сфера: точките подеднакво оддалечени од почетокот на Евклидовиот простор . Ако точката има координати, , тогаш ги одликува тие толки на единичната тридимензионална сфера со средиште во почетокот.

Оваа тридимензионална сфера е пример за тридимензионално многуобразие: простор кој месно изгледа како тридимензионален простор. Строго тополошки изразено, секоја точка на тридимензионалната сфера има околина која е хомеоморфна на отворено подмножество на тридимензионален простор.

Политопи

Во три димензии постојат девет правилни политопи: петте испакнати Платонови тела и четири неиспакнати Кеплер-Поансоови тела.

+ Правилни политопи во три димензииКласаПлатонови телаКеплер-Поансоови телаСиметријаTdOhIhКоксетерова групаA3, [3,3]B3, [4,3]H3, [5,3]Ред2448120Правиленполиедар50п{3,3}50п{4,3}50п{3,4}50п{5,3}50п{3,5}50п{5/2,5}50п{5,5/2}50п{5/2,3}50п{3,5/2}

Површини на вртење

Површината создадена со вртење на рамнинска крива околу неподвижна права на оваа рамнина како оска се нарекува површина на вртење. Рамнинската крива се нарекува генератриса на површината. Резнето од површината направено со пресекување на површината со рамнина нормална (ортогонална) на оската е кружница.

Простите примери се јавуваат кога генератрисата е права. Ако таа се пресекува со оската, површината на вртење е правоаголен кружен конус со теме во пресечната точка. Меѓутоа, ако генератрисата и оската се паралелни, тогаш површината на вртење е кружен цилиндар.

Квадрики

Аналогно на конусните пресеци, квадрика е множеството точки чии Декартови координати ја задоволуваат општата равенка од втор ред, имено,

каде и се реални броеви и не сите и се нула.

Постојат шест видови на неизродени површини од втор ред: Елипсоид Еднокрилен хиперболоид Двокрилен хиперболоид Елиптичен конус Елиптичен параболоид Хиперболичен параболоид

Изродените квадрики се празното множество, една точка, една права, една рамнина, пар рамнини или квадратен цилиндар (површина што се состои од неизроден конусен пресек на рамнина и сите прави на низ тој пресек кои се нормални на ). Елиптичните конуси исто така понекогаш се сметаат за изродени квадрики.

Еднокрилниот и хиперболоид и хиперболичниот параболоид се праволиниски површини, што значи дека може да се сочинети од семејство прави. Впрочем, секој има две семејства на творни прави, а членовите на секое семејство се дисјунктивни и секој член на едно семејство се сече, со само еден исклучок, со секој член на другото семејство. Секое семејство се нарекува регул.

Во линеарната алгебра Во линеарната алгебра, перспективата на тридимензионален простор е суштински зависна од концептот за независност. Просторот има три димензии бидејќи должината на една кутија е независна од нејзината ширина и висина. Изразено со техничкиот јазик на линеарната алгебра, просторот е тридимензионален бидејќи секоја точка во него може да се опише со линеарна комбинација од три независни вектори.

Скаларен производ, агол и должина

Векторот може да се претстави како стрелка. Величината на векторот е неговата должина, а неговата насока е насоката што ја покажува стрелката. Еден вектор во може да се претстави со подредена тројка од реални броеви. Овие броеви се нарекуваат составници (компоненти) на векторот.

Скаларниот производ на два вектора и се дефинира како:

Величината на еден вектор е претставена со . Скаларниот производ на вектор со самиот себе е

што дава

формулата за Евклидовата должина на векторот.

Не осврнувајќи се на составниците на векторите, скаларниот производ на два ненуларни Евклидови вектори и е даден од

каде е аголот помеѓу и .

Како физички пример, имаме еден блок на коса рамнина што оди надолу влечен од земјината тежа. Можеме да се послужиме со скаларниот производ за да ја пресметаме работата извршена од постојаниот силен вектор кој дејствува под агол во однос на правецот на надолно движење . Ова значи:

Векторски производ