мини|280x280пкс| за вредности на . Во аритметиката и алгебрата, куб на бројот е неговиот трет степен, односно резултат од множење три пати на сам со себе. Кубот на бројот се означува , користејќи горен индекс 3, на пример . Операцијата куб може да се дефинира и за кој било друг математички израз, на пример .

Куб е исто така бројот помножен со неговиот квадрат:

Кубната функција е функцијата (често означена ) што го пресликува бројот во неговиот куб. Таа е непарна функција:

Зафатнината на геометриска коцка е куб од должината на нејзината страна. Инверзната операција што се состои од наоѓање број чиј куб е се нарекува вадење на кубен корен од . Кубниот корен ја одредува страната на коцката со дадена зафатнина. Исто така е подигнат на една третина.

Графиконот на кубната функција е познат како кубна парабола. Бидејќи кубната функција е непарна функција, оваа крива има центар на симетрија во почетокот, но нема оска на симетрија.

Во цели броеви Кубен број, или совршен куб, или понекогаш само куб, е број кој е куб на цел број. Ненегативните совршени кубови до 603 се : 03 =013 =1113 =1331213 =9261313 =29,791413 =68,921513 =132,65123 =8123 =1728223 =10,648323 =32,768423 =74,088523 =140,60833 =27133 =2197233 =12,167333 =35,937433 =79,507533 =148,87743 =64143 =2744243 =13,824343 =39,304443 =85,184543 =157,46453 =125153 =3375253 =15,625353 =42,875453 =91,125553 =166,37563 =216163 =4096263 =17,576363 =46,656463 =97,336563 =175,61673 =343173 =4913273 =19,683373 =50,653473 =103,823573 =185,19383 =512183 =5832283 =21,952383 =54,872483 =110,592583 =195,11293 =729193 =6859293 =24,389393 =59,319493 =117,649593 =205,379103 =1000203 =8000303 =27,000403 =64,000503 =125,000603 =216,000 Геометриски гледано, позитивен цел број е совршена коцка ако и само ако може да се подредат цврсти единични коцки во поголема, цврста коцка. На пример, 27 мали коцки можат да се распоредат во една поголема со изглед на Рубикова коцка, бидејќи .

Разликата помеѓу кубовите од последователни цели броеви може да се изрази на следниов начин:

или

Не постои минимален совршен куб, бидејќи кубот на негативен цел број е негативен. На пример, .

Десетична основа За разлика од совршените квадрати, совршените кубови немаат мал број на можности за последните две цифри. Освен за коцките деливи со 5, каде што само 25, 75 и 00 можат да бидат последните две цифри, секој пар цифри со последната цифра непарна може да се појави како последни цифри на совршен куб. За парни кубови, постои значително ограничување, само за 00, 2 , 4 , 6 и 8 може да бидат последните две цифри од совршен куба (каде означува која било непарна цифра и за која било парна цифра). Некои кубни броеви се и квадратни броеви; на пример, 64 е квадратен број и кубен број . Ова се случува ако и само ако бројот е совршен шести степен (во овој случај 2).

Последните цифри од секој трет степен се: 0 1 8 7 4 5 6 3 2 9 Сепак, лесно е да се покаже дека повеќето броеви не се совршени кубови бидејќи сите совршени кубови мора да имаат дигитален корен 1, 8 или 9. Тоа е, нивните вредности модуло 9 може да бидат само 0, 1 и 8. Покрај тоа, дигиталниот корен на кубот на кој било број може да се определи со остатокот што го дава бројот кога ќе се подели со 3:

Ако бројот x е делив со 3, неговиот куб има дигитален корен 9; односно,

Ако има остаток 1 кога се дели со 3, неговиот куб има дигитален корен 1; односно,

Ако има остаток 2 кога се дели со 3, неговиот куб има дигитален корен 8; односно,

Збир од два куба

Збир од три куба

Последна Фермаова теорема

Равенката нема нетривијални (на пр. ) решенија во множеството на цели броеви. Всушност, нема во множестовото на Ајзенштјанови цели броеви.Hardy & Wright, Thm. 227

Обете тврдења се исто така точни за равенкатаHardy & Wright, Thm. 232 .

Збир од првите n кубови

Збирот од првите кубови е -тиот триаголен број на квадрат:

мини|Нагледен доказ дека = .

Докази

Чарлс Витстон дава особено едноставно изведување, со проширување на секој куб во збирот во множество од последователни непарни броеви. Тој започнува со давање на идентитетот

Идентитетот е поврзан со триаголните броеви на следниов начин:

и така собироците што го образуваат започнуваат веднаш по оние што ги образуваат сите претходни вредности до

Применувајќи го ова својство, заедно со друг добро познат идентитет:

се добива следниот израз:

мини|десно|upright=1.6|Нагледен приказ дека квадратот на триаголен број е збир е еднаков на збир од кубови. Во поновата математичка литература, се користи интерпретацијата на овие броеви со правоаголно броење за да образува геометриски доказ за идентитетот (да се види исто така ); тој забележува дека може лесно да се докаже (но неинформативно) со индукција и наведува дека дава „интересен стар арапски доказ“. дава чисто визуелен доказ, дава два дополнителни докази, а дава седум геометриски докази.

На пример, збирот на првите 5 куба е квадратот на 5-тиот триаголен број,

Сличен резултат може да се даде за збирот на првите непарни кубови,

но , мора да ја задоволат негативната Пелова равенка . На пример, за и , тогаш,

и така натаму. Исто така, секој парен совршен број, освен најнискиот, е збир од првите непарни кубови (p = 3, 5, 7, ...):

Кај рационални броеви Секој позитивен рационален број е збир од три позитивни рационални куба, а постојат и рационални броеви кои не се збир од два рационални куба.

Кај реални броеви, други полиња и прстени десно|мини| прикажано на картезијанска рамнина Кај реалните броеви, кубната функцијата го зачувува редот: поголемите броеви имаат поголеми кубови. Со други зборови, кубовите (строго) монотоно се зголемуваат. Исто така, неговиот кодомен е целата реална права: функцијата е сурјекција (ги прифаќа сите можни вредности). Само три броја се еднакви на сопствените кубови: −1, 0 и 1 . Ако или , тогаш . Ако или , тогаш . Сите горенаведени својства важат и за секој поголем непарен степен ( , , ...) кај реалните броеви. Еднаквостите и нееднаквостите важат и во секој подреден прстен.

Зафатнините на слични Евклидови цврсти тела се поврзани како кубови со нивните линеарни големини.

Кај комплексните броеви, кубо на чисто имагинарен број е исто така чисто имагинарен. На пример, .

Изводот од е еднаков на .

Кубовите повремено го имаат сурјективното својство во други полиња, како на пример за таков прост број што , но не мора: видете го контрапримерот со рационали погоре. Исто така, кај само три елементи 0, ±1 се совршени кубови, од вкупно седум. −1, 0 и 1 се совршени кубови насекаде и единствените елементи на полето се еднакви на сопствените кубови: .

Историја Одредувањето на кубови на големи броеви било многу вообичаено во многу древни цивилизации. Месопотамските математичари создале клинести плочи со таблички за пресметување на кубови и кубни корени до старовавилонскиот период (20-ти до 16-ти век пр. н. е.). Кубните равенки му биле познати на старогрчкиот математичар Диофант.Van der Waerden, Geometry and Algebra of Ancient Civilizations, chapter 4, Zurich 1983 Херон од Александрија смислил метод за пресметување на кубни корени во 1 век од н. е. Методите за решавање на кубни равенки и вадење кубни корени се појавуваат во „Деветте поглавја за математичката уметност“, кинески математички текст составен околу 2 век пр. н. е. и коментиран од Лиу Хуи во 3 век од н. е.

Белешки

Наводи

Категорија:Унарни операции Категорија:Теорија на броевите Категорија:Цели броеви Категорија:Целобројни низи Категорија:Фигурни броеви Категорија:Елементарна аритметика