мини|Златниот правоаголник (во розова боја) со подолгата страна a и пократката страна b, кога е поставена во прилог на квадратот на должината а, произведува геометриска сличност на златниот правоаголник со подолгата страна a + b и пократката страна a. Ова го илустрира односот на . Во математиката две величини се во златниот однос ако соодносот помеѓу двете величини е еднаков на збирот на тие две вредности, наспроти повисоки вредности. Сликата од десно ја илустрира геометриски односи. Алгебарски, за количините a и b и a > b > 0,
грчката буква фи ( ili ) е константна. Неговата вредност е:
Златниот однос се нарекува и златен пресек (латински: sectio aurea).. Други имиња вклучуваат екстремен однос, среден пресек, златен сразмер, златен број. божествен пресек. Тоа е однос во кој има примена на предмети, слики итн. Предизвикува особено естетско доживување – допаѓање, па оттука е и името „Божествен пресек“.
Златниот однос се појавува во одредени модели во природата, вклучувајќи филотаксијата (спирално подредување на листови) и други делови на растенија.
Математичарите уште во времето на Евклид ги изучувале својствата на златниот однос, вклучувајќи ја и појавата на мерење на правилен петаголник и на златниот правоаголник, што всушност може да се подели во квадрат и уште еден правоаголник на истиот однос.
Пресметка Две величини a и b се во златниот однос φ ако
Еден начин да се најде вредноста на φ е со решавање на левата страна. Со упростување на прекршокот и со замена во b/a = 1/φ,
Затоа,
Множење со φ дава
што може да се изрази како
Со користење на формулата за решавање на квадратни равенки, се добиваат две решенија:
и
Бидејќи φ е однос меѓу двете позитивни вредности φ е секогаш позитивна вредност: .
Алгебра
Ирационалнот Златниот сооднос е ирационален број. Подолу се два кратки докази на ирационалната:
Контрадикција на израз во најниска вредност мини|344x344пкс|Ако φ е рационален број, тогаш би бил размер на страните на правоаголници со цели страни (правоаголник што опфаќа цел дијаграм). Но, исто така, би бил и односна целобројните страни на помалиот правоаголник, (на десната страна на дијаграмот) добиени со бришење на квадратот. Редоследот на намалувањето на целобројните вредности на должината на страната е формирана со бришење на квадратот и не може да трае вечно, бидејќи имаат долна граница, затоа, φ не може да биде рационален. Да се потсетиме дека: целината е подолг дел плус пократок дел; целината е подолг дел, како што е подолг дел на пократок дел. Ако некој број се нарекува n а подолгиот дел m, тогаш втората изјава станува: n спроти m , исто како што и m спроти n − m, или, во алгебрата:
Да се каже дека φ е рационално значи дека φ односите n/m каде n и m се integers. Ние може да се каже дека n/m имаат најниски вредности, и дека n и m се позитивни броеви. Но, ако дел n/m ниските вредности, тогаш идентитетот на белешки со (*) до врвот равенката m/(n − m), кој продолжува да имаат најниски вредности. Оваа контрадикција, која произлегува од тврдат дека φ е рационално.
Извод од ирационалноста на бројот √5 Уште еден краток доказ — можеби и повеќе познати — каде што златната ирационалност на односот се користи како затвореност кај рационалните броеви, собирање и множење. Ако е рационално, и е рационално, што е спроти фактите дека квадратниот корен од не квадратен природен број е ирационален.
Најмал полином Златниот сооднос е, исто така, алгебарски број, па дури и цел алгебарски број. Најмалиот полином гласи на следниот начин:
Поради членот со степен 2, овој полином всушност има два корени, и другата вреденост е роднина на златниот сооднос.
Роднина на златниот пресек Други корени од најмалите полиноми x -2 - x - 1
Апсолутната вредност на оваа количина (≈ 0,618) одговара на должината на односите во обратна насока (должината на пократката страна во однос на подолгата, b/a), е понекогаш познат под името роднина на златниот пресек. Се означува со голема буква Фи ():
Поврзано Златна спирала Златен правоаголник Сребрен пресек
Наводи
Категорија:Ирационални броеви Категорија:Математички константи Категорија:Планиметрија