thumb|upright=1.35|Curgere potențială fără În matematică o curgere potențială în jurul unui cilindru rotund este o soluție clasică pentru curgerea unui fluid incompresibil transversal în jurul unui cilindru. Departe de cilindru curgerea este unidirecțională și uniformă. Curgerea nu are vorticitate, prin urmare câmpul de viteze este irotațional și poate fi modelat ca o curgere potențială. Spre deosebire de un fluid real, această soluție dă o rezistență la înaintare nulă a corpului, un rezultat cunoscut sub numele de paradoxul lui d'Alembert.
Soluția matematică thumb|upright=1.35|Culori: câmpul presiunilor. este mare, iar este mică. Vectorii vitezelor. thumb|upright=1.35|Imagine mărită a unui sfert din imaginea anterioară thumb|upright=1.35|Câmpul presiunilor. Culori: linii de curent (negru) cu pasul , potențialul vitezei (alb) cu pasul . Un cilindru (de fapt un disc) de rază este plasat într-o curgere bidimensională, incompresibilă și inviscidă. Scopul este de a găsi vectorul de viteză staționar și presiunea într-un plan, cu condiția ca departe de cilindru vectorul de viteză (relativ la versorii și ) să fie:
unde este o constantă, iar pe periferia cilindrului:
unde este vectorul normal pe suprafața cilindrului. În amonte curgerea este uniformă și fără vorticitate. Curgerea este inviscidă, incompresibilă și are o densitate masică constantă. Prin urmare, curgerea rămâne irotațională, cu peste tot. Fiind irotațională, trebuie să existe un potențial al vitezei :
Fiind incompresibil, , ca urmare trebuie să satisfacă ecuația lui Laplace:
Soluția pentru se obține cel mai ușor în coordonate polare și , legate de coordonatele carteziene convenționale prin și . În coordonate polare, ecuația lui Laplace este:
Soluția care satisface condițiile la limită este:
Componentele vitezei în coordonate polare se obțin din componentele lui în coordonate polare:
și
Fiind inviscidă și irotațională, ecuația lui Bernoulli permite obținerea soluției pentru câmpul de presiune direct din câmpul de viteză:
unde constantele și apar astfel încât departe de cilindru, unde . Folosind ,
În imagini, câmpul color este al presiunii și este reprezentat pentru:
Pe suprafața cilindrului, sau pentru , presiunea variază de la un maxim de 1 (prezentat în diagramă cu ) în punctele de stagnare de la și până la un minim de −3 (prezentat în ) pe părțile laterale ale cilindrului, la și . De asemenea, variază de la în punctele de stagnare până la pe părțile laterale, la presiune scăzută.
Funcția de curent Curgerea fiind incompresibilă, se poate găsi o astfel încât
Din această definiție, folosind identitățile calculului vectorial, rezultă că:
Prin urmare, un contur cu o valoare constantă a lui va fi, de asemenea, o linie de curent, o linie tangentă la . Pentru curgerea pe lângă un cilindru se obține:
Interpretare fizică Ecuația lui Laplace este liniară și este una dintre cele mai elementare ecuații cu derivate parțiale. Această ecuație simplă oferă soluția completă atât pentru , cât și pentru , datorită constrângerii de irotaționalitate și incompresibilitate. După obținerea soluției pentru și , se poate observa consistența gradientului de presiune cu accelerațiile.
Presiunea dinamică, atât în punctul de stagnare în amonte, cât și în aval, are valoarea de . Această valoare este necesară pentru a decelera curgerea liberă cu viteza la viteza zero în ambele puncte de stagnare. Această simetrie apare doar pentru că curgerea este complet fără frecare.
Presiunea scăzută de pe părțile laterale ale cilindrului este necesară pentru a asigura accelerația centripetă a curgerii:
unde este raza de curbură a curgerii. Dar și . Integrala ecuației pentru accelerația centripetă pe o distanță va produce astfel
Soluția exactă pentru cea mai mică presiune are
Presiunea scăzută, care trebuie să fie prezentă pentru a furniza accelerația centripetă, va crește și viteza de curgere pe măsură ce fluidul trece de la valori mai mari la valori mai mici ale presiunii. Astfel se obține viteza maximă a curgerii, , la presiunea scăzută de pe părțile laterale ale cilindrului.
O valoare este compatibilă cu conservarea volumului de fluid. Având în vedere că cilindrul blochează o parte din curgere, trebuie să fie mai mare decât undeva în planul care trece prin centrul cilindrului și transversal față de curgere.
Comparație cu curgerea unui fluid real peste un cilindru Simetria acestei soluții ideale are un punct de stagnare atât pe partea din spate a cilindrului, cât și în partea din față. Distribuția presiunii pe părțile din față și din spate este identică, ceea ce duce la proprietatea particulară de a avea rezistență la înaintare nulă a cilindrului, o proprietate cunoscută sub numele de paradoxul lui d'Alembert. Spre deosebire de un fluid ideal inviscid, un flux viscos care trece pe lângă un cilindru, indiferent cât de mică este viscozitatea, va avea un strat limită subțire adiacent suprafeței cilindrului. Se va produce o separare a stratului limită și în curgerea din spatele cilindrului va exista un siaj. Presiunea în fiecare punct din siajul cilindrului va fi mai mică decât cea din amonte, rezultând o forță de rezistență în direcția aval.
Destinderea Janzen–Rayleigh Problema curgerii potențiale compresibile peste un cilindru circular a fost studiată pentru prima dată de O. Janzen în 1913. O. Janzen, Beitrag zu einer Theorie der stationären Strömung kompressibler Flüssigkeiten. Phys. Zeits., 14 (1913) și John William Strutt Rayleigh in 1916 Rayleigh, L. (1916). I. On the flow of compressible fluid past an obstacle. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 32(187), 1-6 la efecte mici ale compresibilității. Aici parametrul mic este pătratul numărului Mach unde este viteza sunetului. Atunci soluția aproximării de ordinul întâi în funcție de potențialul vitezei este:
unde este raza cilindrului.
Curgere potențială peste un cilindru rotund cu mici variații Analiza perturbațiilor obișnuite pentru o curgere în jurul unui cilindru cu o ușoară perturbație în configurații poate fi găsită în lucrarea din 1975 a lui Milton Van Dyke. În cele ce urmează, va reprezenta un parametru pozitiv mic, iar este raza cilindrului.
Cilindru ușor distorsionat Aici, raza cilindrului nu este , ci o formă ușor distorsionată Atunci soluția aproximării de ordinul întâi este:
Cerc ușor pulsator Aici, raza cilindrului variază ușor în timp, deci Atunci soluția aproximării de ordinul întâi este:
Curgere cu ușoară vorticitate În general, viteza curentului liber este uniformă, cu alte cuvinte , dar aici se impune o mică vorticitate în fluxul exterior.
Forfecare liniară Aici se introduce o mică componentă transversală liniară a vitezei.
Ecuația este:
Atunci soluția aproximării de ordinul întâi este:
Forfecare parabolică Aici se introduce o mică componentă transversală parabolică a vitezei.
Atunci soluția aproximării de ordinul întâi este:
unde este soluția omogenă a ecuației lui Laplace care care restabilește condițiile la limită.
Cilindru ușor poros Fie la suprafața unui cilindru impermeabil:
unde este presiunea pe suprafațai cilindrului impermeabil. Acum fie coeficientul de presiune internă din interiorul cilindrului, atunci o ușoară viteză normală datorată ușoarei porozități este dată de:
dar conduția fluxului nul
cere ca . Prin urmare,
Atunci soluția aproximării de ordinul întâi este:
Cvasi-cilindru ondulat Dacă cilindrul are o rază variabilă în direcția axială, axa , , atunci soluția aproximării de ordinul întâi în funcție de potențialul vitezei tridimensionale este:
unde este funcția Bessel de ordinul întâi modificată.
Utilizări practice În afară de studiul teoretic privind înțelegerea curgerilor, curgerea potențială în jurul unui cilindru rotund este folosită drept caz de testare și validare a aplicațiilor software pentru simularea curgerilor. Tudor Baracu, Ștefan Grigoraș-Benescu, Computational Analysis of the Flow Around a Cylinder and of the Drag Force, The 2nd Conference of the Young Researchers from TUCEB, at Technical University of Civil Engineering of Bucharest, Romania, november 2011, accesat 2025-09-12
Note
Vezi și Efectul Magnus
Categorie:Dinamica fluidelor