Reducerea dimensională reprezintă limita unei teorii compactificate în care dimensiunea compactă tinde spre zero. În fizică, o teorie formulată în D dimensiuni de spațiu-timp poate fi reformulată într-un număr mai mic de dimensiuni d, presupunând că toate câmpurile sunt independente de coordonatele corespunzătoare celor D − d dimensiuni suplimentare.
De exemplu, să considerăm o dimensiune compactă periodică, cu perioada L, și fie x coordonata de-a lungul acestei dimensiuni. Orice câmp poate fi dezvoltat ca o sumă de termeni de forma:
unde An este o constantă. Conform mecanicii cuantice, un astfel de mod are un impuls egal cu nh/L de-a lungul direcției x, unde h este constanta lui Planck.Strict vorbind, este o combinație liniară a două funcții de undă cu impuls . Prin urmare, atunci când L tinde la zero, impulsul tinde la infinit și, implicit, și energia, cu excepția modului cu n = 0. Pentru n = 0 se obține însă un câmp constant în raport cu x. Astfel, în această limită și la energie finită, câmpul nu mai depinde de coordonata x.
Acest argument se generalizează. Dimensiunea compactă impune anumite condiții la limită asupra tuturor câmpurilor, de exemplu condiții la limită periodice în cazul unei dimensiuni periodice și, în alte situații, în mod tipic condiții Neumann sau Dirichlet. Dacă dimensiunea compactă are mărimea caracteristică L, atunci valorile proprii posibile ale operatorului gradient de-a lungul acestei dimensiuni sunt multipli întregi sau semiîntregi ai lui 1/L (în funcție de condițiile la limită specifice). În mecanica cuantică, această valoare proprie reprezintă impulsul câmpului și este, prin urmare, legată de energia sa. Pe măsură ce L → 0, toate valorile proprii diferite de zero tind la infinit, la fel ca energia. Prin urmare, în această limită, la energie finită, zero devine singura valoare proprie posibilă a gradientului de-a lungul dimensiunii compacte, ceea ce înseamnă că dependența de această dimensiune dispare.
Reducerea dimensională se referă, de asemenea, la o anulare specifică a divergențelor în diagramele Feynman. Conceptul a fost propus de , și , care au arătat în 1976 că „la toate ordinele în dezvoltarea perturbativă, exponenții critici ai unui sistem dimensional d () cu interacțiuni de schimb de rază scurtă și câmp aleator cuplat înghețat sunt aceiași ca cei ai unui sistem pur de dimensiune ()”. Argumentele lor indicau că diagramele Feynman care determină comportamentul singular dominant în cazul aleator sunt identice, cu excepția factorilor combinatori, cu diagramele Feynman corespunzătoare cazului pur într-un sistem cu două dimensiuni mai puțin.
Această formă de reducere dimensională a fost investigată ulterior în contextul de către Giorgio Parisi și Nicolas Sourlas, care au observat că cele mai divergente diagrame în infraroșu sunt cele cu numărul maxim de inserții ale sursei aleatoare și că, neglijând celelalte diagrame, se obține o dezvoltare diagramatică echivalentă cu cea a unei teorii clasice a câmpului în prezența unor surse aleatoare. Parisi și Sourlas au explicat această reducere dimensională prin existența unei supersimetrii ascunse.
Note
Vezi și Compactificare (fizică) Teoria Kaluza–Klein Teoria coardelor Supergravitație Gravitație cuantică
Categorie:Teoria coardelor Categorie:Teoria cuantică a câmpurilor