În teoria probabilităților, fizică și matematică, un câmp aleatoriu este o familie de variabile aleatorii indexată de punctele unui domeniu multidimensional. În mod tipic, un câmp aleatoriu se notează , unde , astfel încât pentru fiecare punct este o variabilă aleatorie.

Un câmp aleatoriu poate fi privit ca o generalizare a unui proces stohastic, în care mulțimea de indici nu mai este neapărat o submulțime a dreptei reale interpretată drept timp, ci poate fi un spațiu multidimensional, o rețea precum sau chiar o varietate. În particular, un proces stohastic este adesea considerat cazul unidimensional al unui câmp aleatoriu.

Câmpurile aleatorii apar în numeroase domenii aplicate, de exemplu în mecanica turbulenței, meteorologie, geostatistică și fizică statistică. Clase importante sunt , și câmpurile aleatorii omogene ori izotrope.

Definiție formală

Fie un și fie un spațiu măsurabil. Un câmp aleatoriu cu valori în , indexat de o mulțime , este o familie de variabile aleatorii cu valori în , toate definite pe același spațiu de probabilitate, adică pentru fiecare , aplicația

este măsurabilă în .

Dacă sau, mai general, dacă este un spațiu topologic ori o varietate, atunci câmpul aleatoriu poate fi interpretat ca o generalizare multidimensională a unui proces stohastic. În practică, notațiile și sunt ambele folosite pentru aceeași familie de variabile aleatorii.

Exemple

Un exemplu simplu de câmp aleatoriu discret este o familie de variabile aleatorii indexată de punctele unei rețele finite sau infinite din . De exemplu, fie

unde

iar pentru fiecare , variabila aleatorie ia valorile și . Dacă distribuția lui depinde numai de valorile din punctele vecine, atunci se obține un exemplu elementar de câmp aleatoriu discret, de tip .

În cazul continuu, mulțimea de indici poate fi un domeniu , iar câmpul aleatoriu este o familie

Exemple importante sunt , în care orice subfamilie finită are distribuție gaussiană multidimensională, și câmpurile folosite în geostatistică, fizică statistică sau modelarea imaginilor.

Clase cunoscute de câmpuri aleatorii includ , câmpurile Gibbs, și (conditional random fields, CRF). Pentru câmpurile definite pe grafuri finite și sub ipoteze de pozitivitate, relația dintre câmpurile Markov și distribuțiile Gibbs este exprimată prin teorema Hammersley–Clifford; lucrarea clasică a lui Julian Besag din 1974 a avut un rol major în dezvoltarea acestor modele în statistică spațială.

Proprietăți exemplificative

Fie un câmp aleatoriu definit pe vârfurile unui graf . Câmpul este un dacă, pentru orice vârf , variabila este condiționat independentă de toate celelalte variabile date valorile vecinilor săi. Această proprietate locală se scrie

unde notează mulțimea vecinilor lui .

Dacă variabilele iau valori într-o mulțime finită, atunci probabilitatea condiționată locală poate fi scrisă sub forma

unde suma se face după toate valorile posibile ale lui . În practică, evaluarea exactă a acestor probabilități sau a distribuției comune poate deveni dificilă pentru grafuri mari.

Aplicații

În aplicațiile din științele naturii și din statistică spațială, câmpurile aleatorii sunt folosite pentru a descrie fenomene care prezintă dependență spațială. În astfel de situații, valorile observate în puncte apropiate tind să fie mai asemănătoare decât valorile observate la distanțe mari, iar această structură este modelată prin funcții de covarianță sau de corelație.

În fizică statistică, un exemplu clasic este modelul Ising, care poate fi formulat ca un câmp aleatoriu pe o rețea, cu interacțiuni locale între situri vecine. Modele de acest tip sunt folosite pentru studiul transformărilor de fază, al sistemelor spin și al altor fenomene colective.

În geostatistică și geologie inginerească, câmpurile aleatorii sunt utilizate pentru modelarea variabilității proprietăților subsolului și pentru cuantificarea incertitudinii stratigrafice pe baza unor date rare, precum forajele. Un exemplu recent este folosirea câmpurilor aleatorii neomogene pentru reconstrucția și evaluarea incertitudinii structurilor stratigrafice din date de sondaj.

În neuroștiință și neuroimagistică, teoria câmpurilor aleatorii este folosită pentru inferență statistică asupra imaginilor provenite din sau (fMRI). Ea oferă metode de control al erorilor de tip comparații multiple atunci când se caută regiuni de activare semnificativă într-un volum mare de voxeli.

Câmpurile aleatorii apar și în învățare automată, mai ales în probabiliste, cum sunt și . Acestea sunt folosite în analiza imaginilor, recunoașterea formelor, procesarea limbajului natural și alte probleme de inferență pe grafuri.

Câmpuri aleatorii cu valori tensoriale

În fizica mediilor continue, un câmp aleatoriu cu valori tensoriale este un câmp aleatoriu ale cărui valori, în fiecare punct din spațiu, sunt tensori și nu scalari. Astfel de câmpuri sunt folosite pentru a modela mărimi materiale sau cinetice care variază aleatoriu în spațiu, cum sunt tensorul de elasticitate, tensorul de conductivitate, tensorul tensiunii sau tensorul deformației.

Aceste câmpuri apar în special în descrierea mediilor eterogene, unde microstructura materialului introduce variații spațiale ale proprietăților constitutive. În această situație, coeficienții ecuațiilor diferențiale ale mediului continuu, de exemplu rigiditatea sau conductivitatea, pot fi modelați ca realizări ale unui câmp aleatoriu tensorial.

În problemele de schimbare de scară, un concept important este elementul de volum statistic (statistical volume element, SVE), adică un domeniu spațial finit pe care se evaluează statistic proprietățile unui material aleatoriu. Pe măsură ce dimensiunea domeniului crește, fluctuațiile statistice scad, iar în condiții adecvate se ajunge la (representative volume element, RVE), pentru care proprietățile efective devin practic independente de realizarea particulară și de condițiile locale de frontieră.

Pe lângă câmpurile proprietăților materiale, teoriile continue folosesc și câmpuri aleatorii tensoriale sau vectoriale pentru mărimi dependente precum deplasarea, viteza, deformația, tensiunea sau fluxurile. În modele stocastice ale mediilor continue, atât coeficienții constitutivi, cât și câmpurile de răspuns pot fi tratați ca obiecte aleatorii definite în spațiu.

Note

Vezi și Covarianță Kriging

Proces stohastic

Automat celular stohastic

Categorie:Funcții matematice