Algoritmul decimării blocurilor cu evoluție în timp (în engleză time-evolving block decimation, TEBD) este o schemă numerică folosită pentru simularea sistemelor cuantice unidimensionale cu multe corpuri, caracterizate prin interacțiuni cel mult între vecinii cei mai apropiați. El este numit „time-evolving block decimation” deoarece identifică dinamic subspațiile Hilbert relevante, de dimensiune redusă, ale unui spațiu Hilbert original exponențial mai mare. Algoritmul, bazat pe formalismul , este foarte eficient atunci când cantitatea de inseparabilitate din sistem este limitată, condiție îndeplinită de o clasă largă de sisteme cuantice unidimensionale cu multe corpuri.

Introducere Decimarea blocurilor cu evoluție în timp este un algoritm numeric care poate simula eficient evoluția în timp a sistemelor cuantice unidimensionale cu entropie de inseparabilitate limitată. În mod naiv, pentru a evolua în timp un sistem caracterizat de un hamiltonian , s-ar exponenția direct hamiltonianul pentru a obține operatorul de evoluție în timp și acesta s-ar aplica unei stări inițiale:

Totuși, pe măsură ce numărul gradelor de libertate ale sistemului crește, exponentierea matricii asociate și înmulțirea matrice-vector devin rapid imposibil de realizat numeric. De exemplu, dacă reprezintă un sistem de qubiți, atunci spațiul Hilbert în care se află are dimensiunea , ceea ce înseamnă că operațiile matriciale devin practic inabordabile, cu excepția celor mai mici valori ale lui . TEBD oferă o schemă eficientă pentru efectuarea evoluției temporale prin restrângerea la un subspațiu mult mai mic al spațiului configurațiilor. Există și alte exemple notabile de metode care evită această scalare exponențială, inclusiv și grupul de renormalizare al matricii densitate.

a propus această schemă pe când se afla la Institutul pentru din Caltech. El afirmă că „orice calcul cuantic cu stări pure poate fi simulat eficient pe un calculator clasic, cu condiția ca inseparabilitatea implicată să fie suficient de restrânsă”. Acesta este tocmai cazul pentru o gamă largă de hamiltonieni caracterizați prin interacțiuni locale, de exemplu hamiltonieni de tip . Metoda prezintă o dependență polinomială de grad mic a timpului de calcul în raport cu cantitatea de inseparabilitate prezentă în sistem. Algoritmul se bazează pe o schemă care exploatează faptul că, în aceste sisteme unidimensionale, valorile proprii ale matricii densitate reduse pentru o împărțire bipartită a sistemului descresc exponențial, permițând astfel lucrul într-un spațiu redimensionat, generat de vectorii proprii corespunzători valorilor proprii selectate.

este eficientă în simularea dinamicii în timp real sau în calculul stărilor fundamentale folosind evoluția în timp imaginar sau interpolări izentropice între un hamiltonian-țintă și un hamiltonian a cărui stare fundamentală este deja cunoscută. Timpul de calcul scalează liniar cu dimensiunea sistemului, astfel încât pot fi investigate sisteme cu multe particule în 1D.

O caracteristică utilă a algoritmului TEBD este că poate fi utilizat fiabil pentru simulări de ale hamiltonienilor dependenți de timp, care descriu sisteme realizabile cu atomi în sau sisteme aflate departe de echilibru în transportul cuantic. Din acest punct de vedere, TEBD a avut un anumit ascendent față de DMRG, o tehnică foarte puternică, dar care până recent nu era foarte potrivită pentru simularea evoluțiilor în timp. Cum formalismul stărilor produs matricial se află în centrul matematic al DMRG, schema TEBD a fost adoptată de comunitatea DMRG, dând naștere DMRG-ului dependent de timp, pe scurt t-DMRG.

Alte grupuri au dezvoltat abordări similare în care informația cuantică joacă un rol predominant: de exemplu, în implementări DMRG pentru , și pentru studiul dinamicii stărilor mixte în sisteme cuantice unidimensionale pe rețea. (https://arxiv.org/abs/cond-mat/0406426) Aceste ultime abordări oferă de fapt un formalism mai general decât abordarea TEBD originală, deoarece permit și evoluții cu operatori produs matricial; aceasta face posibilă simularea unor evoluții netriviale, neinfinitesimale, spre deosebire de cazul TEBD, și este un ingredient crucial pentru tratarea analogilor de dimensiuni mai mari ai stărilor produs matricial.

Descompunerea stării

Introducerea descompunerii stării Considerați un lanț de N qubiți, descris de funcția . Cel mai natural mod de a descrie ar fi folosirea bazei locale -dimensionale :

unde M este dimensiunea locală a fiecărui nod.

Trucul TEBD constă în rescrierea coeficienților :

Această formă, cunoscută ca , simplifică mult calculele.

Pentru a înțelege de ce, se poate privi a unei stări, care folosește pentru a exprima mai simplu o stare cu inseparabilitate limitată.

Descompunerea Schmidt Considerați starea unui sistem bipartit . Orice astfel de stare poate fi reprezentată într-o bază aleasă adecvat ca:

unde sunt formate din vectori care alcătuiesc o bază ortonormată în și, în mod corespunzător, din vectori , care formează o bază ortonormată în , iar coeficienții sunt reali și pozitivi, cu . Aceasta se numește descompunerea Schmidt (DS) a unei stări. În general, suma merge până la . Rangul Schmidt al unei împărțiri bipartite este dat de numărul coeficienților Schmidt nenuli. Dacă rangul Schmidt este unu, împărțirea este caracterizată de o stare produs. Vectorii DS sunt determinați până la o fază, iar valorile proprii și rangul Schmidt sunt unice.

De exemplu, starea cu doi qubiți:

are următoarea DS:

cu

Pe de altă parte, starea:

este o stare produs:

Construirea descompunerii stării În acest punct știm suficient pentru a vedea cum se construiește explicit descompunerea (să o numim D).

Considerați împărțirea bipartită . DS are coeficienții și vectorii proprii . Extinzând vectorii în baza locală, se poate scrie:

Procesul poate fi descompus în trei pași, iterați pentru fiecare legătură (și, în mod corespunzător, pentru fiecare DS) din lanț:

Pasul 1: exprimarea vectorilor într-o bază locală pentru qubitul 2:

Vectorii nu sunt neapărat normalizați.

Pasul 2: scrierea fiecărui vector în termenii celor cel mult vectori Schmidt și, în mod corespunzător, a coeficienților :

Pasul 3: efectuarea substituțiilor și obținerea expresiei:

Repetând pașii 1–3 se poate construi întreaga descompunere a stării D. Ultimii constituie un caz special, la fel ca primii, exprimând vectorii Schmidt din dreapta la legătura în termenii bazei locale de la poziția a rețelei. Așa cum se arată în, este simplu de obținut descompunerea Schmidt la legătura , adică , pornind din D.

Valorile proprii Schmidt sunt date explicit în D:

Vectorii proprii Schmidt sunt pur și simplu:

și

Justificare Privind acum descompunerea D, în loc de termeni inițiali, există . La prima vedere, aceasta pare doar o rescriere sofisticată a coeficienților , dar în realitate este mai mult decât atât. Presupunând că N este par, rangul Schmidt pentru o tăietură bipartită la mijlocul lanțului poate avea valoarea maximă ; în acest caz, se ajunge la cel puțin coeficienți, considerând doar termenii de tip , adică puțin mai mult decât cei inițiali. Adevărul este că descompunerea D este utilă atunci când se tratează sisteme care prezintă un grad redus de inseparabilitate, ceea ce, din fericire, este cazul pentru multe sisteme 1D, unde coeficienții Schmidt ai stării fundamentale descresc exponențial cu :

Prin urmare, este posibil să fie luați în considerare doar unii dintre coeficienții Schmidt (anume cei mai mari), renunțând la ceilalți și renormalizând apoi starea:

unde este numărul coeficienților Schmidt păstrați.

Să ieșim puțin din această imagine abstractă și să considerăm un exemplu concret, pentru a evidenția avantajul acestei descompuneri. Să luăm, de exemplu, cazul a 50 de fermioni într-un lanț feromagnetic, pentru simplitate. O dimensiune 12 pentru ar fi o alegere rezonabilă, păstrând valorile proprii eliminate la % din total, după cum arată studiile numerice, ceea ce înseamnă aproximativ coeficienți, în comparație cu cei inițiali.

Chiar dacă valorile proprii Schmidt nu au această , ci doar o descreștere algebrică, se poate folosi totuși D pentru a descrie starea . Numărul coeficienților necesari pentru o descriere fidelă a lui poate fi sensibil mai mare, dar încă rămâne accesibil unor simulări numerice.

Actualizarea descompunerii Se poate trece acum la investigarea comportamentului descompunerii D atunci când este acționată de porți cuantice pe un qubit și de pe doi qubiți care acționează pe qubiți vecini. În loc să actualizăm toți coeficienții ai lui , ne vom limita la un număr de operații care cresc în ca un polinom de grad mic, economisind astfel .

Porți pe un qubit care acționează pe qubitul k Porțile pe un qubit afectează doar qubitul asupra căruia acționează; actualizarea stării după aplicarea unui pe qubitul k nu modifică valorile proprii sau vectorii Schmidt din stânga și, în consecință, nici tensorii , nici pe cei din dreapta, adică . Singurii tensori care vor fi actualizați sunt tensorii (cerând cel mult operații), după regula

Porți pe doi qubiți care acționează pe qubiții k, k+1 Modificările necesare pentru actualizarea tensorilor și a valorilor , după o V pe qubiții k, k+1, privesc numai și . Acestea constau într-un număr de operații elementare de ordinul .

În abordarea originală a lui Vidal, poate fi privită ca aparținând doar la patru subsisteme:

J este generat de vectorii proprii ai matricii densitate reduse :

În mod similar, subspațiul K este generat de vectorii proprii ai matricii densitate reduse:

Subspațiile și aparțin qubiților k și k+1. Folosind această bază și descompunerea D, starea poate fi scrisă astfel:

Folosind același raționament ca pentru porțile pe un qubit, aplicarea porții pe doi qubiți V asupra qubiților k, k+1 impune actualizarea doar a lui , a valorilor și a lui .

Se poate scrie astfel:

unde

Pentru a afla noua descompunere, trebuie calculate noile valori la legătura k și vectorii Schmidt corespunzători, apoi acestea trebuie exprimate în termenii tensorilor din descompunerea D. Matricea densitate redusă este astfel :

Rădăcinile pătrate ale valorilor proprii ale acesteia sunt noile valori . Exprimând vectorii proprii ai matricii diagonalizate în baza , se obțin și tensorii :

Din vectorii proprii din stânga,

iar după exprimarea lor în baza , se obțin tensorii :

Costul computațional Dimensiunea celor mai mari tensori din D este de ordinul ; la construirea lui se face suma după , și pentru fiecare , ceea ce duce la un total de operații. Același lucru este valabil pentru formarea elementelor sau pentru calculul vectorilor proprii din stânga , necesitând maximum , respectiv operații elementare. În cazul qubiților, , astfel că rolul său nu este foarte relevant pentru ordinul de mărime al numărului de operații elementare, însă atunci când dimensiunea locală depășește doi, contribuția sa devine decisivă.

Simularea numerică Simularea numerică vizează hamiltonieni (eventual dependenți de timp) ai unui sistem de particule dispuse pe o linie, compuși din porți arbitrare pe un qubit și porți pe doi qubiți:

Este util să se descompună ca sumă a doi termeni, eventual necomutativi, , unde

Oricare doi termeni de două corpuri comută: , . Aceasta se face pentru a permite folosirea dezvoltării Suzuki–Trotter (ST) a operatorului exponențial, numită după Masuo Suzuki și .

Dezvoltarea Suzuki–Trotter Dezvoltarea Suzuki–Trotter de ordinul întâi (ST1) reprezintă o modalitate generală de a scrie operatori exponențiali:

sau, echivalent,

Termenul de corecție dispare în limita .