În matematică o ecuație cu derivate parțiale hiperbolică de ordinul este o ecuație cu derivate parțiale (EDP) care, în linii mari, are o problemă cu valori inițiale bine pusă pentru primele n−1 derivate. Mai exact, problema Cauchy poate fi rezolvată local pentru date inițiale arbitrare de-a lungul oricărei hipersuprafețe necaracteristice. Multe dintre ecuațiile mecanicii sunt hiperbolice, așadar actual studiul ecuațiilor hiperbolice este de un interes substanțial. Ecuația hiperbolică model este ecuația undei. Într-o dimensiune spațială, aceasta este:
Ecuația are proprietatea că, dacă și prima sa derivată în funcție de timp sunt date inițiale specificate arbitrar pe dreapta timpului la (cu suficiente proprietăți de netezime), atunci există o soluție pentru orice moment
Soluțiile ecuațiilor hiperbolice sunt „asemănătoare undelor”. Dacă se produce o perturbație în datele inițiale ale unei ecuații cu derivate parțiale hiperbolice, atunci nu fiecare punct din spațiu resimte perturbația simultan. Relativ la o coordonată de timp fixă, perturbațiile au o finită. Ele se deplasează de-a lungul ecuației. Acest aspect distinge calitativ ecuațiile hiperbolice de cele eliptice și de cele parabolice. O perturbație a datelor inițiale (sau de frontieră) ale unei ecuații eliptice sau parabolice este resimțită simultan de aproape toate punctele din domeniu.
Deși definiția hiperbolicității este fundamental una calitativă, există criterii precise care depind de tipul particular de ecuație cu derivate parțiale luată în considerare. Există o teorie bine dezvoltată pentru liniari, datorată lui Lars Gårding, în contextul analizei microlocale. Ecuațiile diferențiale neliniare sunt hiperbolice dacă liniarizările lor sunt hiperbolice în sensul lui Gårding. Există o teorie oarecum diferită pentru sistemele de ecuații de ordinul întâi, provenind din sistemele de legi de conservare.
Definiție O ecuație cu derivate parțiale este hiperbolică într-un punct cu condiția ca problema Cauchy să fie rezolvabilă în mod unic într-o vecinătate a lui pentru orice date inițiale date pe o care trece prin . Aici, datele inițiale constau din toate derivatele (transversale) ale funcției suprafeței până la cele cu un ordin mai mic decât ordinul ecuației cu derivate parțiale.
Exemple Printr-o schimbare liniară de variabile, orice ecuație de forma
cu discriminantul
poate fi transformată în ecuația undei, cu excepția termenilor de ordin inferior care nu sunt esențiali pentru înțelegerea calitativă a ecuației. Această definiție este analoagă cu definiția hiperbolei.
Ecuația undei unidimensionale:
este un exemplu de ecuație hiperbolică. Ecuațiile de undă bidimensionale și tridimensionale se încadrează, de asemenea, în categoria EDP hiperbolice. Acest tip de ecuație cu derivate parțiale hiperbolică de ordinul al doilea poate fi transformat într-un sistem hiperbolic de ecuații cu derivate parțiale de ordinul întâi.
Sisteme de ecuații hiperbolice de ordinul întâi Următorul este un sistem de ecuații cu derivate parțiale de ordinul întâi pentru funcții necunoscute unde :
unde sunt totodată funcții continui derivabile, în general neliniare.
Apoi, pentru fiecare se definește matricea jacobiană :
Sistemul de mai sus este hiperbolic dacă pentru orice matricea are doar valori proprii reale și este .
Dacă matricea are valori proprii reale distincte, rezultă că este diagonalizabilă. În acest caz, sistemul se numește strict hiperbolic.
Dacă matricea este simetrică, rezultă că este diagonalizabilă, iar valorile proprii sunt reale. În acest caz, sistemul se numește hiperbolic simetric.
Sistem hiperbolic și legi de conservare Există o legătură între un sistem hiperbolic și o lege de conservare. Fie un sistem hiperbolic cu o ecuație cu derivate parțiale pentru o funcție necunoscută Atunci sistemul din secțiunea precedentă are forma:
Aici, poate fi interpretată ca o cantitate care se mișcă conform fluxului dat de Pentru a vedea că se conservă, sistemul se integrează peste un domeniu :
Dacă și sunt funcții suficient de netede, se poate folosi și, schimbând ordinea integrării și înlocuind se obține o lege de conservare pentru cantitatea în forma generală:
ceea ce înseamnă că viteza de schimbare a lui în domeniul este egală cu fluxul net al lui prin limita sa . Deoarece aceasta este o egalitate, se poate concluziona că se conservată în
Note
Lectură suplimentară A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002.
Vezi și Ecuație cu derivate parțiale eliptică Ecuație cu derivate parțiale parabolică
Legături externe
Linear Hyperbolic Equations at EqWorld: The World of Mathematical Equations. Nonlinear Hyperbolic Equations at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
hiperbolic